解放军文职招聘考试杨辉

 杨辉

一、杨辉生平

　　杨辉，南宋数学家．字谦光，钱塘(今杭州)人，生活于13世纪．

　　杨辉曾做过地方官，足迹遍及钱塘、台州(今浙江临海)、苏州等地．与他同时代的陈几先称赞他“以廉饬己，以儒饰吏”．杨辉特别注意社会上有关数学的问题，多年从事数学研究和教学工作，是东南一带有名的数学家和数学教育家．他走到哪里都有人请教数学问题．从1261年到1275年的15年中，他先后完成数学著作5种21卷，即《详解九章算法》12卷(1261)，《日用算法》2卷(1262)，《乘除通变本末》3卷(1274)，《田亩比类乘除捷法》2卷(1275)和《续古摘奇算法》2卷(1275)(其中《详解》和《日用算法》已非完书)．后三种合称为《杨辉算法》．杨辉数学著作的特点是深入浅出，便于初学，同时有不少创新．另外，杨辉的书中还记录了一些古代有价值的数学成果，如贾宪的增乘开方法和开方作法本源图载于《详解九章算法》，刘益的正负开方术载于《田亩比类乘除捷法》．

二、垛积术

　　杨辉的垛积术是在沈括隙积术的基础上发展起来的，置于《详解九章算法》的商功章．他研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为

　　

　　其中a为上底边长，b为下底边长，h为高．若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a×a个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n层，最下层(即下底)由b×b个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：

　　

　　比较一下上面两式就会发现，后者与前者的区别在于括号内多了一项

等差级数求和公式，即

　　

　　杨辉垛积术中还有三个二阶等差级数求和公式： 

　　除了(4)式与沈括隙积术公式相同外，其他公式均为杨辉独立推出．

三、纵横图

　　纵横图是按一定规律排列的数表，也称幻方．一般是n行n列，各行各列的数字之和相等，纵横图有几行，就称为几阶．中国最早的纵横图，当推汉代“九宫图”(图8．12)．

 

 

　　杨辉在《续古摘奇算法》中系统研究了纵横图，从三阶宜到十阶．他给出四阶纵横图的构造方法如下：“易换术曰，以十六子依次第作四行排列，先以外四角对换，后以内四角对换．”(图8．13)他还给出构造四阶纵横图的一般方法，称为“总术”．第一步是“求积”，即求出每行数字之和应为多少．杨辉用等差数列求和公式

　　

　　求得前16个自然数的和136，进而求得每行之数34．第二步是“求等”，即设法使每行、每列的数字之和等于34．“求等术曰：以子数分两行

　　而二子皆等(十七)，又分为四行，而横行先等(三十四)，乃不易之数．却以此编排直行之数，使皆如元求一行之积(三十四)而止．”依此术，杨辉构造数字方阵如图8．14，然后再“编排直行之数”．杨辉说：“绳墨既定，则不患数之不及也．”意思是掌握了规律，就不难作出纵横图．

 

 

　　四阶以上纵横图，杨辉只画出图形而未留下作法．但他所画的五阶、六阶乃至十阶纵横图全都准确无误，可见他已经掌握了高阶纵横图的构成规律．他的十阶纵横图叫百子图(图8．15)，各行各列的数字之和均为505．

四、数学教育

　　在《乘除通变本末》中，杨辉总结了自己多年的教学经验．他首先给出一份相当完整的教学计划——“习算纲目”(卷上《算法通变本末》)，包括各部分数学知识的学习方法、时间及参考书．他主张循序渐进，精讲多练，特别强调要明算理，要“讨论用法之源”．例如，他讲减法时不只讲算法，而且指明：“加法乃生数也，减法乃去其数也，有加则有减．凡学减，必以加法题答考之，庶知其源．”针对教师和学生两种不同的对象，杨辉又提出“法将提问”和“随题用法”两条不同原则．教师讲授应“法将提问”，“凡欲见明一法，必设一题”(卷下《法算取用本末》)，就是以算法统御习题，每种算法都设有相应的题目．而对学生来说，则应“随题用法”，即根据具体题目来选择相应的算法．他说：“随题用法者捷，以法就题者拙．”(卷中《乘除通变算宝》)