解放军文职招聘考试对数和计算机

  对数和计算机

　　数学史家卡约黎(F．Cajori)说：“现代计算方法之所以有奇迹般的力量，是由于有三个发明，即阿拉伯记数法、小数和对数．”

 

　　实际上，小数记法在宋元时代的中国便采用了．1248年成书的《测圆海镜》中，李冶把0.25记作○＝│││││，5.76记作 ，就是说，纯小数于个位处写○，带小数于个位数下写单位．当然，由于没用阿拉伯数码，书写起来还是不大方便的．由于当时的中国与欧洲缺乏学术交流，所以中国的小数记法对欧洲没有产生影响．在欧洲，一般把小数的发明权归于荷兰数学家斯蒂文(S．Stevin，1548—1620)，他在1585年发表的《论十进》(DeThiende)一书中，系统论述了十进小数及其运算．他把符号 放在个位数后面来区分一个数的整数部分和小数部分，并依次用①②③等表示小数部分的位数，如27.847写作27 8①4②7③，0.54写作5①4②．这种记法也是相当笨拙的．直到1617年纳皮尔(J．Napier，1550—1617)发明小数撇，小数才有了简便记法．按照他的方法，27.847应写作27′847．至于现在所用的小数点，是1685年在沃利斯的《代数》(Algebra)一书中首次出现的．

　　16—17世纪计算技术的最大改进是对数的发明，它被称为17世纪世界三大数学成果之一(另两项成果是解析几何和微积分)．虽然纳皮尔是举世公认的对数发明者，但对数的基本思想，早在德国数学家施蒂费尔的《整数算术》(1544)一书中就出现了．该书指出几何级数

　　1，r，r2，r3，… (1)

　　的各项与其指数所形成的算术级数

　　0，1，2，3，… (2)

　　的各项相对应°(1)中每两项的乘积，其指数等于(2)中相应两项之和；(1)中每两项相除，商的指数等于(2)中相应两项之差．纳皮尔正是在这种对应关系启发下发明对数的．当时，随着天文学和航海的发展，三角运算越来越复杂，迫切需要一种简便的计算方法，对数便应运而生了．在1614年发表的《奇妙对数规则的说明》(MirificiLogarith－morumCanonisDes－criptio)一书中，纳皮尔详细介绍了自己发明对数的思路．

 

　　设有两质点P，Q，分别沿线段AB和射线A′B′运动(图9．1)，并具有相同的初速度．Q一直保持匀速运动而P的速度与它到B的距离成正比．当P位于某点Pm时，Q位于Qm(m＝0，1，2…)，则A′Qm就是PmB的对数．令A′Qm＝x，PmB＝y，则有x=logy．这里的logy是纳皮尔对数，后人记为NaPlogy．符号log也是纳皮尔的发明，它是logarithm的缩写．这种引入对数的方法和现代对数概念似乎联系不大，但其基本原理相同，就是：二者均具有算术级数和几何级数的对应关系．为了避免分数，纳皮尔取AB的长为107，因为他研究对数的直接目的是简化三角运算，而当时最好的正弦表有七位数字．按纳皮尔方法，设P，Q的初速度为107，并设A′Q1为单位距离1，于是Q经过时间10-7后到达Q1，在这极短的时间内，P与Q经过的距离可近似地看作相同，即AP1为1，所以P1B＝107-1，这就是P在P1点的速度．在下段时间10-7中，Q将达到Q2而P到达P2，这里P1P2＝10-7(107-1)即1-10-7，所以P2B为107-1-(1-10-7)即107(1-10-7)2，这就是P在P2的速度，A′Q2显然为2．同理可得

　　P3B＝107(1-10-7)3，P4B＝107(1-10-7)4，…

　　A′Q3＝3，A′Qm＝4…

　　这就是说，当PmB按几何级数递减时，A′Qm按算术级数递增，这反映了底小于1的对数函数的特征．几何级数和算术级数的这种联系，便是纳皮尔确立的对数基本原则．进一步的考察表明，纳皮尔对数实际是

 

　　积分，得lny=-t+c，

　　把t＝0代入上式，得

　　c＝ln107，

　　∴lny=-t+ln107．

　　而Q的速度为常数107，

　　∴x=107t，

　　 

　　显然，107的对数是0而大于107的数的对数是负数．

　　够方便．所以纳皮尔发明对数后，继续思考对数的改进．1615年，伦敦的一位叫布里格斯(H．Briggs，1561—1631)的数学教授专程来访问纳皮尔，纳皮尔建议把0作为1的对数，布里格斯马上同意．两人还进一步商定把10的对数作为1，就是说采用以10为底的对数．这样，10的乘幂的对数就是它的幂指数，计算起来方便多了．由于这种对数应用广泛，被称为常用对数．1617年，布里格斯发表了第一张常用对数表．他把10不断开平方，因而前一数的对数除以2就得后一数的对数，例如，　　 0.25；等等．他不断开平方达54次，然后利用“两数乘积的对数为它们对数之和”这一事实求出更多靠得很近的数的对数，造出了对数表．

　　由于对数能化乘除为加减，又有了方便的对数表，所以大大节省了计算时间．它不仅受到数学家，而且受到物理学家、天文学家和航海家的热烈欢迎．在不到一个世纪的时间里，对数几乎传遍全世界，数学史上没有哪一项重要成果的传播速度有对数这样快．对数传入中国后，梅文鼎极力称赞“对数之奇”，说它“神速简易”．传入意大利后，伽利略惊喜异常，他说：“给我空间、时间及对数，我即可创造一个宇宙．”

　　对数发明后不久，各种计算工具相继产生了．这对于计算技术的进步也有重要意义．

　　1617年，纳皮尔发明了一种算筹，在一些长条形板片上刻写数码，对起来进行乘、除、乘方、开方运算．1620年，英国的冈特(E．Gunter，1581—1626)根据对数原理，制成世界上第一把对数尺，现在的对数计算尺就是由它发展而来的．1645年，法国数学家帕斯卡(B．Pascal，1623-1662)发明了手摇计算机，可以进行加减运算，被称为加法机．1674年，莱布尼茨经过改进，制成了能够进行乘除运算的乘法机．两种计算机都通过齿轮运转，它们是现代电子计算机的前身．