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解放军文职招聘考试对数和计算机

来源: 2017-11-22 19:29

  对数和计算机

  数学史家卡约黎(FCajori)说:“现代计算方法之所以有奇迹般的力量,是由于有三个发明,即阿拉伯记数法、小数和对数.”

 

  实际上,小数记法在宋元时代的中国便采用了.1248年成书的《测圆海镜》中,李冶把0.25记作○=│││││,5.76记作 ,就是说,纯小数于个位处写○,带小数于个位数下写单位.当然,由于没用阿拉伯数码,书写起来还是不大方便的.由于当时的中国与欧洲缺乏学术交流,所以中国的小数记法对欧洲没有产生影响.在欧洲,一般把小数的发明权归于荷兰数学家斯蒂文(SStevin15481620),他在1585年发表的《论十进》(DeThiende)一书中,系统论述了十进小数及其运算.他把符号 放在个位数后面来区分一个数的整数部分和小数部分,并依次用①②③等表示小数部分的位数,如27.847写作27 847③,0.54写作54②.这种记法也是相当笨拙的.直到1617年纳皮尔(JNapier15501617)发明小数撇,小数才有了简便记法.按照他的方法,27.847应写作27847.至于现在所用的小数点,是1685年在沃利斯的《代数》(Algebra)一书中首次出现的.

  1617世纪计算技术的最大改进是对数的发明,它被称为17世纪世界三大数学成果之一(另两项成果是解析几何和微积分).虽然纳皮尔是举世公认的对数发明者,但对数的基本思想,早在德国数学家施蒂费尔的《整数算术》(1544)一书中就出现了.该书指出几何级数

  1rr2r3,… (1)

  的各项与其指数所形成的算术级数

  0123,… (2)

  的各项相对应°(1)中每两项的乘积,其指数等于(2)中相应两项之和;(1)中每两项相除,商的指数等于(2)中相应两项之差.纳皮尔正是在这种对应关系启发下发明对数的.当时,随着天文学和航海的发展,三角运算越来越复杂,迫切需要一种简便的计算方法,对数便应运而生了.在1614年发表的《奇妙对数规则的说明》(MirificiLogarithmorumCanonisDescriptio)一书中,纳皮尔详细介绍了自己发明对数的思路.

 

  设有两质点PQ,分别沿线段AB和射线AB′运动(91),并具有相同的初速度.Q一直保持匀速运动而P的速度与它到B的距离成正比.当P位于某点Pm时,Q位于Qm(m012),则AQm就是PmB的对数.令AQmxPmBy,则有x=logy.这里的logy是纳皮尔对数,后人记为NaPlogy.符号log也是纳皮尔的发明,它是logarithm的缩写.这种引入对数的方法和现代对数概念似乎联系不大,但其基本原理相同,就是:二者均具有算术级数和几何级数的对应关系.为了避免分数,纳皮尔取AB的长为107,因为他研究对数的直接目的是简化三角运算,而当时最好的正弦表有七位数字.按纳皮尔方法,设PQ的初速度为107,并设AQ1为单位距离1,于是Q经过时间10-7后到达Q1,在这极短的时间内,PQ经过的距离可近似地看作相同,即AP11,所以P1B107-1,这就是PP1点的速度.在下段时间10-7中,Q将达到Q2P到达P2,这里P1P210-7(107-1)1-10-7,所以P2B107-1-(1-10-7)107(1-10-7)2,这就是PP2的速度,AQ2显然为2.同理可得

  P3B107(1-10-7)3P4B107(1-10-7)4,…

  AQ33AQm4

  这就是说,当PmB按几何级数递减时,AQm按算术级数递增,这反映了底小于1的对数函数的特征.几何级数和算术级数的这种联系,便是纳皮尔确立的对数基本原则.进一步的考察表明,纳皮尔对数实际是

 

  积分,得lny=-t+c

  把t0代入上式,得

  cln107

  ∴lny=-t+ln107

  而Q的速度为常数107

  ∴x=107t

   

  显然,107的对数是0而大于107的数的对数是负数.

  够方便.所以纳皮尔发明对数后,继续思考对数的改进.1615年,伦敦的一位叫布里格斯(HBriggs15611631)的数学教授专程来访问纳皮尔,纳皮尔建议把0作为1的对数,布里格斯马上同意.两人还进一步商定把10的对数作为1,就是说采用以10为底的对数.这样,10的乘幂的对数就是它的幂指数,计算起来方便多了.由于这种对数应用广泛,被称为常用对数.1617年,布里格斯发表了第一张常用对数表.他把10不断开平方,因而前一数的对数除以2就得后一数的对数,例如,   0.25;等等.他不断开平方达54次,然后利用“两数乘积的对数为它们对数之和”这一事实求出更多靠得很近的数的对数,造出了对数表.

  由于对数能化乘除为加减,又有了方便的对数表,所以大大节省了计算时间.它不仅受到数学家,而且受到物理学家、天文学家和航海家的热烈欢迎.在不到一个世纪的时间里,对数几乎传遍全世界,数学史上没有哪一项重要成果的传播速度有对数这样快.对数传入中国后,梅文鼎极力称赞“对数之奇”,说它“神速简易”.传入意大利后,伽利略惊喜异常,他说:“给我空间、时间及对数,我即可创造一个宇宙.”

  对数发明后不久,各种计算工具相继产生了.这对于计算技术的进步也有重要意义.

  1617年,纳皮尔发明了一种算筹,在一些长条形板片上刻写数码,对起来进行乘、除、乘方、开方运算.1620年,英国的冈特(EGunter15811626)根据对数原理,制成世界上第一把对数尺,现在的对数计算尺就是由它发展而来的.1645年,法国数学家帕斯卡(BPascal1623-1662)发明了手摇计算机,可以进行加减运算,被称为加法机.1674年,莱布尼茨经过改进,制成了能够进行乘除运算的乘法机.两种计算机都通过齿轮运转,它们是现代电子计算机的前身.

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