代数学
1494年，意大利数学家帕乔利(L．Pacioli，1445—1509)的《算术、几何、比与比例全书》(Summa de Arithmetica，Geometria，Proportioni et Proportionalita)在威尼斯出版，它是继斐波那契L．Fibonacci)《算盘书》之后第一部内容全面的数学书，包括算术、代数、几何与簿记．书中采用了印度—阿拉伯数码和许多数学符号，对16世纪欧洲数学的发展有重要影响．尤其值得提到的是，书中讨论了三次方程．虽然没有成功，而得出“高于二次的方程不可解”的错误结论，但正是书中的讨论引导了数学家们的进一步研究．16世纪的一些杰出数学家并不相信帕乔利的结论，他们孜孜不倦地探求高于二次的方程解法．实际上，16世纪欧洲代数的发展，便突出地表现为三次和四次方程解法的发现．
在这方面首先取得成果的是意大利数学家塔尔塔利亚．他原姓丰坦那(Fontana)，后因口吃被称为塔尔塔利亚，意即口吃者．他本人也以此为姓发表文章，沿用至今．16世纪30年代，他骄傲地说自己掌握了一般三次方程的解法．1535年2月22日，菲奥尔(A．M．Fior)拿出30个三次方程向他挑战，他全都顺利解决了．但其解法却秘而不宣．
在此期间，意大利的另一位数学家卡尔达诺(G．Cardano，1501—1576)也在研究三次方程解法，但未成功．1539年，他恳切要求塔尔塔利亚把解法告诉他，并发誓保密，塔尔塔利亚满足了他的要求，不过没有证明．卡尔达诺克服了很大困难，找到了证明．他大概觉得没有保密的必要，便在1545年发表的《大术》(Ars(G．Cardano1501—1576)Magna)中公布了三次方程解法．尽管卡尔达诺写明了方法的来源，但失信行为还是激怒了塔尔塔利亚，受到他的强烈谴责．由于《大术》的影响，三次方程解法被称为“卡尔达诺公式”或“卡当公式”流传开来．卡尔达诺公布的解法可简述如下：
方程
x3＋px=q(p，q为正数)． (1)
卡尔达诺以方程x3＋6x＝20为例说明这一方法，他得到的解是x=
过同样的程序得到
他还求出x3＋px＋q＝0和x3＋q＝px(p，q为正数)的公式解，就是说他已经能解任何形式的三次方程了．毫无疑问，这里包含了塔尔塔利亚的工作．但需要说明的是，他们像当时其他数学家一样，解方程只求正根，所以解法还是不完善的．
管会受到多大的良心的责备”，把这两个根相乘，会得25－(-15)＝40．于是他写道：“算术就是这样神秘地搞下去的，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的．”他既承认负数有平方根，又怀疑它的合法性，因此称它为“诡变量”．但不管怎样，虚数毕竟在卡尔达诺那里诞生了．他还进一步指出，方程(指实系数方程)的虚根是成对出现的．
三次方程成功地解出之后，卡尔达诺的学生费拉里(L．Ferrari，1522—1565)受到启发，很快解出了四次方程，解法也发表在卡尔达诺《大术》中．下面用现代符号表出．
设方程为x4＋bx3+cx2+dx+e＝0． (4)
移项，得x4＋bx3=-cx2-dx-e，
右边为x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方．
解这个三次方程，设它的一个根为y0，代入(5)，由于两边都是x的完全平方形式，取平方根，即得
解这两个关于x的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．
在卡尔达诺之后，韦达对三次方程和四次方程解法作了进一步改进．1591年发表的《分析术引论》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是这样解三次方程的：
对于 x3+bx2+cx+d=0，
结果得到简约三次方程
y3＋py＋q＝0．
他和卡尔达诺一样，只考虑方程的正根．
韦达不仅研究方程解法，还努力寻找方程的根与系数的关系，在《论方程的识别与修正》(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，写于1591年，出版于1615年)中，他提出了四个定理，后人为了纪念这位大数学家，称之为韦达定理．二次方程的韦达定理是我们经常使用的，就
对方程理论作出重要贡献的另一位数学家是笛卡儿．他承认方程的负根，并研究了多项式方程的正根和负根个数的规律，得到著名的笛卡儿符号法则：多项式方程f(x)=0的正根个数等于方程系数的变号次数，或比此数少一正偶数；负根个数等于f(-x)的系数的变号次数，或少于此数一个正偶数．在这里，m重根是看作m个根的．实际上，正根个数和负根个数都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系数变号次数，p为0，1，2…，p的取值要使n－2p非负．笛卡儿还研究了方程的根的个数同方程次数的关系，认为n次方程至多有n个根．在讨论三次方程时，他得到如下结论：若一有理系数三次方程有一个有理根，则此方程可表为有理系数因子的乘积．他的另一项重要成果是现今所谓因子定理：f(x)能为(x-a)整除(a＞0)，当且仅当a是f(x)＝0的一个根，所有这些成就都是在笛卡儿《方法论》(DiscoursdelaMéthod，1637)的附录《几何》(LaGéometrie)中出现的．
除了方程以外，二项式定理的发现也在代数史上占有一席之地．实际上，指数为正整数的二项式定理(即(a＋b)n在n为正整数时的展开式)曾被不同民族多次独立发现．11世纪的中国人贾宪和15世纪的阿拉伯数学家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形
这个三角形特点是，左右两行的数都是1，中间每个数为肩上两数之和．
在欧洲，德国数学家阿皮安努斯(P．Apianus，1495—1552)最早给出这个三角形(1527年)，1544年左右，施蒂费尔引入“二项式系数”这个名称，并指出怎样从(1＋a)n-1来计算(1＋a)n．1653年，帕斯卡写成《算术三角形》(Traitédutrianglearithmétique)一书，从上述三角形出发，详细讨论了二项展开式的系数．该书于1665年出版后，影响很大．由于帕斯卡在数学界的威望，人们习惯地称此三角形为帕斯卡三角形．实际上，他的功绩主要是通过组合公式给出了二项式系数，即(a+b)n
牛顿(T．Newton，1643—1727)进一步认识到，这个公式不仅适用于指数为正整数的二项展开式，而且当指数为分数或负数时，同样适用．他把二项式定理推广到分指数和负指数的情形，指出这三种形式的二项展开式第1项都是1，后面各项系数及字母指数也具有相同的变化规律：设n，m为正整数，则
如果括号里是a-b，则第k＋1项的符号由(－1)k决定．它们的区别只
牛顿的这些研究成果，是在17世纪60年代取得的，但直到1676年6月给莱布尼茨的信中，才首次透露．
另外，莱布尼茨和日本的关孝和(1642—1708)各自独立地发明了行列式，并建立起关于行列式的初步理论，这也是17世纪的代数成果之一．关孝和是日本传统数学——和算的奠基人．他的贡献还有：发现方程正负根存在的条件及与牛顿迭代法类似的解法，给出圆的径、弧、矢间关系的无穷级数表达式，等等．
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