解放军文职招聘考试数论

 数论

 

　　在16—17世纪，对数论贡献最大的是法国数学家费马(P．deFer－mat，1601—1665)．他的研究成果多记在—本古希腊著作——丢番图(Di－ophantus)《算术》(Arithmetica)的页边上，死后五年才由他的儿子萨穆埃尔(ClémentSamuel)出版．虽然丢番图已经开了研究数论的先河，但费马数论问题的深度和难度，却是古希腊人不能比拟的．费马的工作，决定了一个世纪的数论研究方向．

一、有关平方数的问题

　　费马指出，形如4n＋1的素数和它的平方都只能以一种方式表为两个平方数之和；它的三次方和四次方都能以两种方式，它的五次方和六次方都能以三种方式，如此等等，以至无穷．例如，5=4×1＋1，这时有52＝32＋42，53＝52＋102=22＋112，54＝152＋202＝72＋242…．

　　他还指出，每一个非负整数可表成四个或少于四个平方数的和．

　　不过，费马并没有给出这两个定理的证明．第一个定理的证明是欧拉(L．Euler，1707—1783)于1754年作出的，第二个定理的证明归功于拉格朗日(J．L．Lagrange，1736—1813)．

　　实际上，费马的数论成果大部分是只有结论的，就象一本高明的习题集，而证题工作则是他留给后人的“作业”．不过，对于下面两个定理，费马是给出证明的：

　　(1)每一个奇素数能且只能以一种方式表为两个平方数之差．(2)整数边直角三角形的面积不可能是平方数．

　　他证明前一个定理的思路大致如下：设p是一个奇素数，易证p=

二、费马的小定理和大定理

　　费马提出的两个著名定理被后人称为小定理和大定理，后者又称为最后定理．

　　费马小定理是费马在1640年10月18日给德贝西(F．deBe－ssy，1605—1675)的信中给出的．这定理说：若p是素数且a与p互素，则ap-1－1能被p整除．例如，p＝3，a=5，则ap-1-1＝52－1=24．显然，24能被3整除．

　　费马大定理记在丢番图《算术》的页边上，即：n＞2时，xn+yn=zn没有整数解．

　　费马从未给出小定理的证明．至于大定理，他在书上写道：“我已经找到一个真正美妙的证明，但是页边太窄，写不下．”但他是否找到了该定理的正确证明，谁也无法验证．这是数学史上一个难解之谜．

　　这两个定理作为著名的数学难题，吸引了众多的后来人．1736年，欧拉终于发表了第一个关于费马小定理的证明．大定理的证明可就困难多了，虽然费马本人曾给出n＝4的证明，欧拉给出n＝3的证明，19世纪的勒让德(A．M．Legendre，1752—1833)又给出n＝5的证明，一般情况的证明却一直没解决．1908年，德国数学家沃尔夫斯克尔(Wolfskehl)给哥廷根科学院留下十万马克，作为费马大定理的第一个完全证明的奖金．结果，各式各样的“证明”从世界各地飞来，但没有一个是正确的．这个定理至今仍在期待着人们的证明．

三、完全数和亲和数

　　这两种有趣的数都是古希腊人提出的．所谓完全数，是指所有比自身小的因数之和等于自身的正整数．欧几里得曾经证明：如果2p-1是素数，则2p-1(2p－1)是完全数．当p＝2，3，5，7时，这个公式给出最前面的四个完全数6，28，496，8128．10世纪初，意大利人卡塔尔迪(p．A．Cataldi，1552—1626)从这个公式出发，认为当p＝2，3，5，7，13，17，19，23，29，31和37时，都将得到完全数．实际上，p＝23，29，37时，2p-1并非素数．费马于1640年发现223－1有因数47，237-1有因数223，从而纠正了卡塔尔迪的错误．(卡塔尔迪的另一错误是欧拉纠正的)．

　　亲和数是彼此等于对方所有因数之和的一对正整数．毕达哥拉斯认为这样一对数的关系象征友谊，故以“亲和”名之．最早发现的一对亲和数是284与220．费马在1636年找到第二对亲和数17296与18416．

四、费马数

　　费马在研究素数时，曾努力寻找一个对各种n值都能得出素数的公

 

　　5，17，257，65537，确实都是素数，但n＞4时，公式就不适用了．

　　除了费马以外，与他同时代的笛卡儿也对数论作出了贡献．1638年，他在给梅尔塞尼(Mersenne)的信中说，他能证明每个偶完全数都具有2p-1(2p-1)的形式，这实际是欧几里得证明过的定理的逆定理．不过，人们并未发现笛卡儿的证明，现存的对这一定理的最早证明属于欧拉．笛卡儿还给出探索亲和数的一条规则：设有乘幂2p，若3×2p-1，6×2p-1，18×(2p)2-1都是素数，则2×2p×[18×(2p)2-1]是亲和数的一个成员．例如，2，8，64便满足上述条件，按规则计算的结果分别是284，18416，9437056，所以第三对亲和数为9437056和9363584．