解放军文职招聘考试射影几何与解析几何

 射影几何与解析几何

第一节 射影几何

一、历史背景

　　1566年，科曼迪诺(F．Commandino，1509—1575)把阿波罗尼奥斯(Apollonius)的《圆锥曲线论》(Conics)前四卷译成拉丁文，引起了人们对几何的兴趣，几何上的创造活动开始复兴．在短短几十年的时间里，便突破传统几何的局限，产生了一门崭新的学科——射影几何．由于新学科把无穷远点及图形连续变动的思想引入数学，它实际上已迈入高等数学的门槛．

　　射影几何直接起源于透视法，而透视法是与绘画艺术分不开的．在中世纪，画家的主要任务是颂扬上帝和为圣经插图．但到了文艺复兴时期，描绘现实世界逐渐成为绘画的目标了．为了在画布上忠实地再现大自然，就需要解决一个数学问题：如何把三维的现实世界反映到二维的画布上．意大利的建筑师兼数学家阿尔贝蒂(L．B．Alberti，1404—1472)认真考虑了这一问题．他在1435年写成的《论绘画》(Dellapittura，1511年出版)一书中阐述了这样的思想：在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃板，并设想光线从眼睛出发射到景物的每一个点上，这些线叫投影线．他设想每根线与玻璃板交于一点，这些点的集合叫做截景．显然，截景给眼睛的印象和景物本身一样，所以作画逼真的问题就是在玻璃板(实际是画布)上作出一个真正的截景．

 

　　例如，人眼在O处观察水平面上的矩形ABCD、(图10．1)时，从O到矩形各点的连线形成一投影棱锥，其中OA，OB，OC，OD是四根典型的投影线．若在人眼和矩形间插入一平面，并连结四条线与平面的交点A′，B′，C′，D′，则四边形A′B′C′D′为矩形ABCD的截景．由于截景对人眼产生的视觉印象和原矩形一样，它们必然有相同之处．但从直观上看，截景和原形既不全等又不相似，也不会有相同的面积，截景甚至并非矩形．那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的问题．

　　阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的；如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之间必存在某种关系．于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．

二、德扎格的工作

　　射影几何的创始人是法国的建筑师德扎格(G．Desargues，1591—1661)．1639年，他发表了一本重要著作《试论圆锥与平面相交结果》(Brouillon projet dune atteinte aux événements des rencontres du cone avec un plan)．这部书推动了19世纪射影几何的蓬勃发展，被公认为这一学科的经典．但它在发表之初，却没有受到数学家们的重视．德扎格把书印了50份，分送给他的朋友，不久便全部散失了．直到1845年，沙勒(M．Chasles，1793—1880)才偶然发现了一个手抄本，由波德(N．G．Poudra)加以复制，使德扎格的射影几何成果复明于世，1950年左右，这部书的一个原版本终于在巴黎被发现，并复制发行．

　　为什么德扎格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因．一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了．从思想的深刻来讲，德扎格是可以和笛卡儿媲美的．但笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速得到数量结果，而射影几何主要是对几何的定性研究．当时的技术发展更需要解析几何这样的有力工具．第二个原因是，德扎格的写作形式比较古怪，他引进了70个新术语，其中多是从植物学借用的．例如，他用棕(Palm)、干、树来表示三种不同性质的直线．这类语句及不易理解的思想，使他的书难于阅读．除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人欣赏他的著作．

　　德扎格数学思想的出色之处，首先在于他引进了无穷远点和无穷远线．阿尔贝蒂曾指出，画面上的平行线应画成交于一点，除非它们平行于玻璃板(图10．1)．例如，图10．1中的B′C′和A′D′便相交于某点O′，这一点不和BC或AD上任何普通的点对应，所以叫没影点，而除O′外的直线B′C′或A′D′上的任何点，都对应着BC或AD上某个确定的点．为了使B′C′与BC上的点以及A′D′与AD上的点有完全的对应关系，德扎格在AD及BC上引入一个新的点，叫做无穷远点，把它看作两平行线的公共点．所有平行于BC的直线都交于这一点，方向不同于BC的另外一组平行线则有另外一个公共的无穷远点．由于平行线组的数目是无穷的，德扎格实际是在平面上引入了无穷多的新点．他假定所有这些点都在同一直线上，而这直线则对应于截景上的水平线或没影线(即图10．1中的OO′)．以这种新规定为前提，我们就可以断言“平面上任意两直线必交于一点”了，因为不平行线交于普通点而平行线交于无穷远点．

　　引入了无穷远点和无穷远线后，德扎格研究了这样的问题：设有点O(图10．2)及三角形ABC，则OB， OC， OA可看作三条投影线，ABC的一个截景为A′B′C′，其中A与A′对应，B与B′对应， C与C′对应．显然， AA′， BB′和CC′交于一点O，设AB与A′B′交于Q，AC与A′C′交于P，BC与B′C′交于R，德扎格证明了：Q，P，R必在一条直线上．这就是著名的德扎格定理：若两个三角形对应顶点连线共点，则对应边交点共线．不管两个三角形是否在同一平面，定理都是成立的，逆定理也同样成立．德扎格在书中对二维和三维情况的正、逆定理都作了证明．

 

　　在深入研究投影性质的基础上，德扎格终于回答了阿尔贝蒂早就提出的问题：同一实物的两个截景间有什么数学关系？这实质是一个投影下的不变性问题．德扎格发现：交比在投影下是不

变的．所谓交比，是指直线上依次排列的四点A，B，C，D所形成的

德扎格的理论，若OA，OB，OC，OD是四条投影线，l1和l2是l

 

　　德扎格在书中还引入对合的概念：若一条直线上的三对点B，H；D，F；C，G具有如下关系

　　

　　则称这三对点是对合的；当D=F且C＝G时，上式变成

　　

 

　

　　这就给出两对点(B，H；D，C)对合的定义，它可以看作三对点对合的特殊情况．至于三对点以上的对合，完全是以三对点对合为依据来定义的．例如，当B，H；D，F；C，G；M，N具有如下关系

　　

时，则称这四对点是对合的，依此类推．德扎格发现了一个重要事实：对合关系也是投影下的不变量．他证明了许多有关对合的定理，下面一个是十分著名的．为了介绍这个定理，我们先介绍完全四边形的概念．设B，C，D，E是平面上任意四点，其中没有三点共线．EB与DC交于F， BC与ED交于N，则EN， BN， EF，DF，EC，BD六条线形成完全四边形的各边，其中EN和BN是对边，EF和DF是对边，BD和EC也是对边．德扎格的定理为：若B，C，D，E在一圆上，直线PM交完全四边形各组对边于P，Q；I，K；以及G，H，交圆于L，M，那么这四组点是对合的(图10．4)．

 

　　德扎格把他的射影几何思想用于圆锥曲线，得到许多新颖的结果：直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分；焦点相合的椭圆退化为圆；焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线，等等．他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线，而是理解为圆的截景．圆不仅可以变换为椭圆，而且可以变换为开口的抛物线或双曲线，这时的曲线仍看作封闭的，只不过是一个点在无穷远而已．德扎格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线，从而为圆锥曲线的研究开辟了广阔的前景．例如上面介绍过的关于对合的定理，德扎格便通过投影法推广到一般圆锥曲线，因为圆的截景可以是任意的圆锥曲线，而对合关系在投影后是不变的．从而揭示了圆锥曲线的一个重要性质．