解放军文职招聘考试帕斯卡的工作

 帕斯卡的工作

　　帕斯卡(B．Pascal，1623—1662) 是德扎格的学生，仅仅活了39岁．他是一位了不起的天才，在微积分、概率、代数、射影几何等方面都作出了引人注目的贡献，他是手摇计算机的发明者，还是法国著名的文学家，物理方面的成就也不少．这里着重谈他的射影几何方面的工作．

　　帕斯卡从12岁起就对几何发生了兴趣，并发现了一些初等几何的定理．14岁时参加了巴黎数学家的每周聚会，他在这里得到德扎格的指导，逐渐熟悉了德扎格的射影几何思想．德扎格建议他用射影法研究二次曲线，他接受了这个建议．16岁那年(1639)，帕斯卡写成一本约八页的小册子《略论圆锥曲线》(Essay pourles coniques)．大数学家笛卡儿看过以后，觉得如此出色，竟然不相信它是一个这样年轻的人写的．遗憾的是这本书不久便失传了，直到1779年才被重新发现．

　　帕斯卡的书中最著名的结果是下述定理：若一个六边形内接于一圆锥曲线，则每两条对边相交而得的三点在同一直线上．如图10．5，P，Q及R在同一直线上．若六边形的对边两两平行，则P，Q，R在无穷远线上．该定理被后人称为帕斯卡定理，在射影几何里是十分重要的．

　　帕斯卡首先证明了该定理对圆成立．然后用投影法转到一般圆锥曲线．他说由于对圆成立，所以通过取截景后，必对所有圆锥曲线都成立．实际上，若从上图平面外的一点作它的投射锥并取一截景，则截景必含一圆锥曲线及内接六边形，六边形的对边仍将交于一条直线上的三点．这条直线与PQR相对应．该定理确定了圆锥曲线上六个点的射影相关性．如果已知六个点中的五个，就能确定一条圆锥曲线．这个定理是射影几何中内容最丰富的定理之一，由它出发可以导出大量推论．例如：(1)如果一个三角形内接于一圆锥曲线，则其顶点上的切线与对边交于三个共线点．(2)若五边形ABCDE内接于一圆锥曲线，则AB， DE；BC，EA；CD与A点上的切线交于三个共线点．(3)内接于一圆锥曲线的四边形的两对对边，连同对着的顶点的两对切线，交于四个共线点．

　　帕斯卡定理的逆定理(若一个六边形的三对对边的三个交点共线，则六边形顶点在一圆锥曲线上)也是成立的，但帕斯卡没有考虑．

四、射影几何中的新思想

　　伴随着射影几何的诞生，一些崭新的数学思想出现了．首先是数学对象从—种形状连续变到另一形状的思想．实际上，最早注意这一问题的是开普勒(J．Kepler)，他在1604年出版的《天文学的光学部分》(Astronomiae Pars Optica)中，设想椭圆的一个焦点固定而让另一个焦点在它们的连线上移动，若动点移向无穷远，椭圆成为抛物线；若这个动焦点又出现在定焦点的另一方，抛物线就变成双曲线；当两焦点合而为一，椭圆变成圆．而双曲线的两焦点合在一起时，双曲线便退化为两直线．德扎格则采用更为有效的方法——投射取截法来实现二次曲线的连续变化．只要改变截景平面的位置，就可使圆的截景从圆连续变为椭圆、抛物线和双曲线．因此，对于圆成立的许多性质，都可通过取截景的方法来证明它们对其他二次曲线也成立．这就提供了一种相当一般的简便方法．

　　从射影几何中产生的另一个新思想是变换和不变性．从某点向一图形作投影线，然后取截景，这就是把原图形变成了新的图形．而原图形中值得研究的性质是那些变换后保持不变的性质．这种变换思想不仅导致了另一门新学科——仿射几何的诞生，而且当人们用变换与不变性的观点来重新研究欧氏几何时，发现了三种几何的本质联系及从属关系．实际上，射影几何包含了仿射几何，而仿射几何包含了欧氏几何．不过，射影几何的创始人并未认识到这一点．后来，当群论产生后，变换群的概念应运而生，成为现代数学的理论基础之一．

　　虽然射影几何方面的工作最初是为了给画家提供方便，但它的意义远不止于此．在当时，它由于解析几何的发展而略显失色，甚至一度被人们遗忘．但到19世纪被人重新发现时，德扎格和帕斯卡等人的杰出思想终于大放异彩．射影几何作为一个着重研究图形位置和相交方面的性质的学科，终于成熟了．