解放军文职招聘考试费马的工作

 费马的工作

　　费马(P．de Fermat， 1601—1665)是一位多才多艺的学者．他上大学时专攻法律，毕业后以当律师为生，并长期担任法国图卢兹(Toulouse，费马出生地)议会的顾问．实际上，他在30岁以后才开始进行数学研究．他不愧是一位数学天才，尽管数学工作仅占据了他的一部分时间，他那丰硕的成果却令人目不暇接．17世纪的数论几乎是费马的天下，费马大定理的魅力至今仍不减当年；在牛顿(I．Newton)和莱布尼茨(G．W．Leib-niz)之前，他为微积分的创立作了大量的准备工作，取得十分出色的成果；他和帕斯卡一起，分享了创立概率论的荣誉；在解析几何上，他也是一位名副其实的发明者．

　　费马的《平面与立体轨迹引论》(Introduction aux Li－eux Planes et Solides)是他在解析几何方面的代表作．这本书是1630年写成的，但一直到1679年才出版，那时费马已经死了14年．费马的著作表明，他的研究工作是以古希腊阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》为出发点的．他在书的开头写道：“毫无疑问，古人对于轨迹写得非常多……．可是，如果我没有想错的话，他们对于轨迹的研究并非是那么容易的．原因只有一个：他们对轨迹没有给予充分而又一般的表示．”费马认为给轨迹一般表示只能靠代数．他很熟悉韦达的代数工作，又受到前人用代数解决几何问题的启发，所以他着手解决轨迹的一般表示的问题时，就毫不犹豫地求助于代数．他不仅使代数与几何结为伴侣，更重要的是他把变量思想用于数学研究，这正是他比哈里奥特等人高明的地方，也是他创立解析几何的主要思想基础．

　　费马的一般方法就是坐标法．坐标概念古已有之，以坐标系为参考来确定点的位置，这是古希腊人已经熟悉的．但费马凭借他的变量观念和形数结合的思想，在这块数学园地里培育出新的成果．他把坐标平面上的点和一对未知数联系起来，然后在点运动成线的思想下，把曲线用方程表示出来．这种以代数方程表示几何曲线的方法，无疑是解析几何的精髓．

 

　　费马的具体做法是：考虑任意曲线和它上面的任意点J(图10．6)，J的位置用A，E两字母表出，其中A是从点O沿底线到点Z的距离，E是从Z到J的距离．他所用的坐标就是我们所说的斜坐标，A，E相当于x，y．费马说：“只要在最后的方程里出现两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线．”如图10．6，对于不同位置的E，其末端J，J′，J″…就把线描出．当然，在这里联系A和E的方程是不确定的，图10．6仅仅是一个示意图．费马以这种思想为指导，研究了各种类型的曲线，他实际采用的坐标多是直角坐标．

　　费马充分注意到方程次数与曲线形状的关系，他说一个联系着A和E的方程如果是一次的，就代表直线轨迹；如果是二次的，就代表圆锥曲线．例如，DA＝BE就表示一个一次方程．换成现代记号，相当于ax

 

　　坐标的名词，他的坐标轴也没有标明方向．实际上，横、纵坐标的名词是莱布尼茨起的，牛顿首次采用了现代形式的坐标系．

 

　　费马的研究重点是圆锥曲线，他通过自己的实践揭示了圆锥曲线的方程特征——含有二个未知数的二次方程．例如，他以椭圆的长轴PP′所在直线为x轴，以椭圆在P点的切线为y轴，并设PP′＝d，通径(即正焦弦)为p(图10．8)，推得椭圆方程为

　　

　　另一方面，他还通过坐标轴的平移和旋转来化简方程，从而求得比较复杂的二次方程的曲线．例如，他通过平移坐标轴，把方程

xy＋a2=bx+cy

　　化成 xy=k2

 

　　的形式，这显然是双曲线；又通过坐标轴的旋转，化方程

a2-2x2=2xy+y2

　　为 b2-x2=ky2，

　　从而证明这是一个椭圆．他还证明了方程

x2+y2+2dx＋2ry＝b2

　　是一个圆．在此基础上，费马自豪地宣称，他能用他的新方法重新推出阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》的所有结论．不过，他并没有给出坐标变换的一般法则．

　　费马在总结自己的工作时说：“直线是简单唯一的；曲线的数目则是无限的，包括圆、抛物线，椭圆等等．”他把二次以内的曲线分为平面轨迹和立体轨迹两类，说：“每当构成轨迹的未知数的顶端所描出的是直线或圆时，这轨迹就称为平面轨迹；当它描出的是抛物线、双曲线或椭圆时，它就称为立体轨迹．”至于其他曲线，他一律称为线性轨迹．他重点研究了直角坐标系下的曲线方程，说：“若令两个未知量构成一给定的角，通常假定它为直角，并且未知量之一的位置和顶端是确定的，则此方程是很容易想象的．如果这两个未知量的幂都不超过二次，则由后面所述便能明白，其轨迹是平面轨迹或立体轨迹．”他在书中确定了各种轨迹的方程，其基本形式为(以现代记法表示)：

　　

　　(3)圆的方程a2－x2＝y2；

　　(4)椭圆方程a2－x2＝ky2；

　　(5)双曲线方程a2＋x2＝ky2；

　　(6)双曲线方程xy＝k2；

　　(7)抛物线方程x2＝ay．

　　费马对高次曲线的研究也是卓有成效的．他提出许多以代数方程定

　

整数)，它们分别被后人称为费马抛物线、费马双曲线和费马螺线．另外，费马还与一位叫阿格内西(M．G．Agnesi，1718—1799)的意大利女数学家在通信中讨论了一种新曲线，即

b3=x2y+b2y．

　　这种曲线问世后，被称作阿格内西箕舌线．

　　费马在研究轨迹的过程中，不仅考虑到一维和二维的情形，还进一步探讨了三维空间的轨迹问题．他正确指出：一元方程确定一个点，二元方程确定一条曲线(包括直线)，而三元方程则确定一个曲面．这类曲面包括平面、球面、椭球面、抛物面和双曲面．不过，他没有用解析方法对这些曲面进行具体研究．

　　由于时代的局限，费马在研究轨迹时不考虑负坐标，他的曲线一般只画在第一象限，尽管他知道这些曲线是在其他象限延续的．这就使他的工作缺乏完整性．例如，他认为任何齐二次方程都表示直线，因为x2=y2可化成x=y．另外，从指导思想来看，他并不想打破希腊数学传统，把自己的思想看作希腊数学思想的继续，认为解析几何不过是阿波罗尼奥斯著作的一种新的表现形式．这种认识对于他的解析思想的发挥无疑具有阻碍作用．例如，他虽然在坐标系内讨论了阿波罗尼奥斯的各种圆锥曲线，但从未考虑过两条曲线在同一坐标系内的相交问题，更不知道交点的代数意义．相比之下，笛卡儿的解析思想更为深刻，他创立的解析几何也更为成熟．