解放军文职招聘考试笛卡儿的数学思想

 笛卡儿的数学思想

　　笛卡儿是以哲学家的身分来研究数学的．他认为自己在教会学校里没学到多少可靠的知识，所以从青年起就认真思考这样的问题：人类应该怎样取得知识？他勇敢地批评了当时流行的经院哲学，提倡理性哲学．他说圣经不是科学知识的来源，并且说人们应该只承认他所能了解的东西．尽管笛卡儿从未否认过上帝存在，他的这些话还是惹恼了教会，以至在他的葬礼上不准为他致悼词．

　　笛卡儿认为逻辑不能提供基本的真理，他说：“谈到逻辑，它的三段论和其他观念的大部分，与其说是用来探索未知的东西，不如说是用来交流已知的东西．”那么，什么地方提供真理呢？这就是客观世界，而数学正是客观存在的事物，所以数学里必然包含许多有待发现的真理．他认识到严格的数学方法是无懈可击的，不能为任何权威所左右，他说数学“是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因而是所有其他知识工具的源泉．”

　　笛卡儿从他的数学研究中得出一些获得正确知识的原则：不要承认任何事物是真的，除非对它的认识清楚到毫无疑问的程度；要把困难分成一些小的难点；要由简到繁，依次进行；最后，要列举并审查推理步骤，要做得彻底，使无遗漏．对于数学本身，他相信他有清楚的概念，这些数学概念都是客观存在的，并不依赖于人是否想着它们．笛卡儿强调要把科学成果付之应用，要为人类的幸福而掌握自然规律．

　　笛卡儿数学研究的目标是建立一种把形和数结合起来的科学，吸取代数与几何的优点，而抛弃它们的缺点．他对逻辑学、欧氏几何及代数都很熟悉，尤其强调代数的价值．他批评希腊人的几何过多地依赖于图形，主张把代数用到几何中去．他认为代数在提供广泛的方法论方面，高出希腊人的几何方法．他强调代数的一般性和程序性，认为代数的这些特点可以减小解题的工作量．他证明了几何问题可以归结为代数问题，因此在求解时可以运用代数的全部方法．由于代数语言比几何语言更有启发性，所以在问题改变形式以后，只要进行一些代数变换，就可以发现许多新的性质．显然，在笛卡儿的数学研究中，代数是居于主导地位的．这种数学思想具有重要意义，因为它终于使代数摆脱了几何思维的束缚，而在文艺复兴之前，这种束缚是长期存在的．例如，x，x2，x3通常被看作长度、面积和体积，方程次数不能高于三次，因为高于三次的方程就难于找到几何解释了．卡尔达诺(G．Cardano)、费拉里(L．Ferrari)等对高次方程的研究，使代数有了独立于几何的倾向，而笛卡儿的工作则使代数完全摆脱了几何的束缚，又反过来用代数方法研究几何问题．他在研究中引入了变量思想，认为曲线是这样生成的：在坐标系内，随着一个坐标的变化，另一个坐标也相应变化，每对坐标决定一个点，这无穷多个点便组成曲线．他用方程表示曲线，把曲线上的每一个点看作方程的一组解，从而把代数与几何在变量观念下统一起来，这是他创立解析几何的基础，我们从他的著作中可以看得很清楚．