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解放军文职招聘考试笛卡儿的《几何》

来源: 2017-11-22 19:33

 笛卡儿的《几何》

  《几何》分三卷.第一卷的前半部分是解析几何的预备知识,通过典型例题说明如何把代数用于几何,解决尺、规作图问题;后半部分则包含笛卡儿解析几何的基本理论.第二卷讨论曲线方程的推导及曲线性质,提出按方程次数对曲线进行分类的方法.第三卷讨论如何用圆锥曲线解高次方程,以及高次方程的性质.

  在第一卷,笛卡儿明确指出用代数方法解决几何作图题的实质在于“定出所求线段的长度”.他首先定义了单位线段,在此基础上又定义了线段的加、减、乘、除和开方.例如,假定取AB为单位,笛卡儿说:“我只需要连接点AC,然后引DE平行于CA,那么BE就等于BDBC的积”,“如果要求用BD来除BE,我就连接ED,再引AC平行于DE,那么BC是除的结果.”(109)“如果要求CH的平方根,我沿同一直线加上FCFC等于单位,然后在K点将FH二等分.我以K为中心画圆FIH,再从C引垂线到I,那么CI就是所要求的根.”(1010)虽然对线段的运算古已有之,单位线段却是笛卡儿首次引入的.它的意义在于突破了几何对代数的束缚——齐次原则.根据这一原则,不同量纲的几何量不能相加,方程ax2bxc0是没有几何意义的,因为ax2表体积,bx表面积而c表长度,属于不同的量纲.而笛卡儿引入单位概念之后,使所有几何量都通过单位而变成统一的关于数的表示.于是图形中各种量的关系就转化成数的关系,这是把代数与几何统一起来的关键.

 

   笛卡儿在把代数方法用于几何时,首先是用未知数去表示特定的线段.例如某几何问题归结到求一个未知长度x,而x满足方程x2ax

作出x,笛卡儿先作直角三角形NLM(1011),其中LMb

地,若x满足方程x2=-ax+b2,则xMP

 

  解析几何的精髓是用代数方程表示几何曲线,笛卡儿通过帕波斯问题引入了这一崭新的方法.该问题是:设ABADEFGH是四条给定直线,从某点C引直线CBCDCFCH各与一条给定直线构成已知角CBA CDA CFECHG,要求满足CB·CFCD·CH的点的轨迹.

 

  笛卡儿的解法是:首先假定已得到轨迹上的C点,然后以ABCB为主线,考虑其他直线与主线的关系.笛卡儿记ABxBCy,这相当于设了两个相交的坐标轴,当然与现在直角坐标系中的x轴和y轴还有所区别.这样,线段CBCDCFCH的长度便可由xy确定了.由于三角形ARB的所有角已给定,所以ABBR之比一定,设ABBR=zb,因AB

  

  因为AB ADEF是三条给定直线,所以AE长度是确定的,设AEk,则EBkx(k-x,或-kx,依EAB三点的根对

 

这样,CBCDCFCH便都表示成关于xy的一次式了.把这四个一次式代入CB·CFCD·CH,可知两边关于xy的次数都不会高于二次,即满足帕波斯问题的C点的轨迹方程为

y2AyBxyCxDx2

  其中ABCD是由已知量组成的代数式.

  笛卡儿接着指出:“如果我们逐次给线段y以无限多个不同的值,对于线段x也可找到无限个值.这样被表示出来的C点就可以有无限多个,因此可把所求的曲线表示出来.”这就在变量思想指导下,把数与形统一起来了.这是数学史上一项划时代的变革,从此开拓了变量数学的新领域.

  在《几何》的第二卷中,笛卡儿详细讨论了曲线方程的推导及各种曲线的性质.我们从下面的例子可以领会他的思路.

  设直线l1l2AGl1上的定点,射线m(笛卡儿说是直尺)绕端点G旋转,交l2L,射线n的端点K沿l2滑动,LK为定长.笛卡儿试图导出mn的交点的轨迹方程.他设C为轨迹上任一点,过CCBBA,交l2B,过LLNGA,交nN,他以A为原点建立坐标系,并设BCyABx,设GALKNL三个已知量为abc(1013)

 

  

   

  这显然是双曲线的方程.

  笛卡儿以方程次数为标准,对曲线进行了系统的分类.他认为:几何曲线是那些可用一个唯一的含xy的有限次代数方程来表出的曲线,所以方程次数决定了曲线的种类.他研究了各种圆锥曲线,指出圆锥曲线都是二次的;另一方面,二次方程(指二元二次方程)的曲线也都是圆锥曲线.他把方程次数强调到这种程度,以至认为像x3+y3-3axy=0(1014,即笛卡儿叶线)这样复杂的曲线,比曲线yx4还要简单.笛卡儿坚持曲线与方程相对应,对任何一条曲线,只要可以找到适合于它的方程,他立即当作几何曲线来研究.这就突破了欧氏几何只用圆规、直尺作图的局限,以前一向为几何学家所回避的许多曲线,便有了和常见曲线相同的地位.至于不能用代数方程表示的曲线,如螺线和割圆曲线等,笛卡儿一律称之为机械曲线.

 

  第三卷侧重于代数.笛卡儿在解几何作图题时,首先把问题用代数表示,然后解所得出的代数方程,并按解的要求来作图.他还提出利用圆锥曲线来解三次和四次方程的方法,即用同一坐标系内两条圆锥曲线的交点来表示方程的解.这是数学史上的一项革新,它提供了解方程的一个有力工具.笛卡儿用这种方法求出了形如z3=±pz±qz4=±pz2±qz±r的方程的实根.

 

  则圆与抛物线在轴左边的交点F给出方程的正根,笛卡儿称为“真正的根”;另一边的交点GH则表示方程的负根,笛卡儿称为“假根”,因为他不承认方程的负根.实际上,笛卡儿是把圆和抛物线放在以A为原点的同一坐标系内来考虑的.若用现代符号表示,则抛物线方程

  为 x2=y (1)

  圆的方程为

  

  化简得 x2y2qx(1+p)y (2)

  把方程(1)(2)联立,所得解的x值即圆与抛物线的交点的横坐标,也就是方程z3pzq的解.在这里,笛卡儿把方程的解、方程组的解,以及代表方程的曲线的交点都统一在坐标系内,这种思想是相当出色的.

 

  在第三卷中,还有一部分内容是专门讨论方程的,具有独立的代数意义.著名的笛卡儿符号法则就是在这里提出的.

  纵观笛卡儿的《几何》,虽然篇幅不过百页,却已奠定了解析几何的基础.笛卡儿把曲线与方程相联系的观点,不仅是曲线理论而且是整个数学思想的重大突破.他还进一步认识到,如果两条曲线以同一个坐标系为参考,则其交点由它们的方程之解来确定.这种思想远远高出了他的同时代人,正如数学史家芬克(Karl Fink)所说:“从来都没有谁作过任何尝试,企图把不同次数的几条曲线同时表示在一个坐标系中……甚至连费马也没有尝试过.笛卡儿所系统完成的恰恰是这件事.”

  但是,笛卡儿同费马一样不考虑负坐标,这就不可避免地给他的研究工作带来局限性.另外,他对几何作图题的强调掩盖了解析几何的主要思想——用代数方程表示并研究曲线.许多和他同时代的人认为解析几何主要是为了解决作图问题.当然,笛卡儿本人是清楚这门学科的意义远不止于此的.他在《几何》的引言中说:“我在第二卷中所作的关于曲线性质的讨论,以及考查这些性质的方法,据我看,远远超出了普通几何的论述.”

  笛卡儿的《几何》还有一个特点,即很少证明.实际上,笛卡儿不仅熟悉欧氏几何的证明方法,也完全会用代数方法证明几何问题.他有意删去定理的证明,大概是为了使文章简短和利于自学.他在一封信里把自己比做建筑师,说自己的工作是指明应该做什么,而把手工操作留给木工和瓦工.他还说:“我没有做过任何不精心的删节.”他在《几何》中明确表示:他不愿夺去读者们自己进行加工的乐趣.他说之所以删去大多数定理的证明,是因为如果读者系统考查他的题目,则证明就成为显然的了,而且这样学习会更为有益.不过,由于笛卡儿的《几何》过于难懂,还是影响了解析几何的传播速度.后来有人给此书写了许多评注,使它易于理解.

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