解放军文职招聘考试笛卡儿的《几何》

 笛卡儿的《几何》

　　《几何》分三卷．第一卷的前半部分是解析几何的预备知识，通过典型例题说明如何把代数用于几何，解决尺、规作图问题；后半部分则包含笛卡儿解析几何的基本理论．第二卷讨论曲线方程的推导及曲线性质，提出按方程次数对曲线进行分类的方法．第三卷讨论如何用圆锥曲线解高次方程，以及高次方程的性质．

　　在第一卷，笛卡儿明确指出用代数方法解决几何作图题的实质在于“定出所求线段的长度”．他首先定义了单位线段，在此基础上又定义了线段的加、减、乘、除和开方．例如，假定取AB为单位，笛卡儿说：“我只需要连接点A和C，然后引DE平行于CA，那么BE就等于BD和BC的积”，“如果要求用BD来除BE，我就连接E和D，再引AC平行于DE，那么BC是除的结果．”(图10．9)“如果要求CH的平方根，我沿同一直线加上FC，FC等于单位，然后在K点将FH二等分．我以K为中心画圆FIH，再从C引垂线到I，那么CI就是所要求的根．”(图10．10)虽然对线段的运算古已有之，单位线段却是笛卡儿首次引入的．它的意义在于突破了几何对代数的束缚——齐次原则．根据这一原则，不同量纲的几何量不能相加，方程ax2＋bx＋c＝0是没有几何意义的，因为ax2表体积，bx表面积而c表长度，属于不同的量纲．而笛卡儿引入单位概念之后，使所有几何量都通过单位而变成统一的关于数的表示．于是图形中各种量的关系就转化成数的关系，这是把代数与几何统一起来的关键．

 

　　 笛卡儿在把代数方法用于几何时，首先是用未知数去表示特定的线段．例如某几何问题归结到求一个未知长度x，而x满足方程x2＝ax＋

作出x，笛卡儿先作直角三角形NLM(图10．11)，其中LM＝b，

地，若x满足方程x2=-ax+b2，则x为MP．

 

　　解析几何的精髓是用代数方程表示几何曲线，笛卡儿通过帕波斯问题引入了这一崭新的方法．该问题是：设AB，AD，EF和GH是四条给定直线，从某点C引直线CB，CD，CF，CH各与一条给定直线构成已知角CBA， CDA， CFE，CHG，要求满足CB·CF＝CD·CH的点的轨迹．

 

　　笛卡儿的解法是：首先假定已得到轨迹上的C点，然后以AB和CB为主线，考虑其他直线与主线的关系．笛卡儿记AB为x，BC为y，这相当于设了两个相交的坐标轴，当然与现在直角坐标系中的x轴和y轴还有所区别．这样，线段CB，CD，CF和CH的长度便可由x和y确定了．由于三角形ARB的所有角已给定，所以AB与BR之比一定，设AB∶BR=z∶b，因AB＝

 　

　　因为AB， AD，EF是三条给定直线，所以AE长度是确定的，设AE＝k，则EB＝k＋x(或k-x，或-k＋x，依E，A，B三点的根对

 

这样，CB，CD，CF，CH便都表示成关于x和y的一次式了．把这四个一次式代入CB·CF＝CD·CH，可知两边关于x，y的次数都不会高于二次，即满足帕波斯问题的C点的轨迹方程为

y2＝Ay＋Bxy＋Cx＋Dx2，

　　其中A，B，C，D是由已知量组成的代数式．

　　笛卡儿接着指出：“如果我们逐次给线段y以无限多个不同的值，对于线段x也可找到无限个值．这样被表示出来的C点就可以有无限多个，因此可把所求的曲线表示出来．”这就在变量思想指导下，把数与形统一起来了．这是数学史上一项划时代的变革，从此开拓了变量数学的新领域．

　　在《几何》的第二卷中，笛卡儿详细讨论了曲线方程的推导及各种曲线的性质．我们从下面的例子可以领会他的思路．

　　设直线l1⊥l2于A，G是l1上的定点，射线m(笛卡儿说是直尺)绕端点G旋转，交l2与L，射线n的端点K沿l2滑动，LK为定长．笛卡儿试图导出m与n的交点的轨迹方程．他设C为轨迹上任一点，过C作CB∥BA，交l2于B，过L作LN∥GA，交n于N，他以A为原点建立坐标系，并设BC＝y，AB＝x，设GA，LK和NL三个已知量为a，b，c(图10．13)

 

 　

　 　

　　这显然是双曲线的方程．

　　笛卡儿以方程次数为标准，对曲线进行了系统的分类．他认为：几何曲线是那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程来表出的曲线，所以方程次数决定了曲线的种类．他研究了各种圆锥曲线，指出圆锥曲线都是二次的；另一方面，二次方程(指二元二次方程)的曲线也都是圆锥曲线．他把方程次数强调到这种程度，以至认为像x3+y3-3axy=0(图10．14，即笛卡儿叶线)这样复杂的曲线，比曲线y＝x4还要简单．笛卡儿坚持曲线与方程相对应，对任何一条曲线，只要可以找到适合于它的方程，他立即当作几何曲线来研究．这就突破了欧氏几何只用圆规、直尺作图的局限，以前一向为几何学家所回避的许多曲线，便有了和常见曲线相同的地位．至于不能用代数方程表示的曲线，如螺线和割圆曲线等，笛卡儿一律称之为机械曲线．

 

　　第三卷侧重于代数．笛卡儿在解几何作图题时，首先把问题用代数表示，然后解所得出的代数方程，并按解的要求来作图．他还提出利用圆锥曲线来解三次和四次方程的方法，即用同一坐标系内两条圆锥曲线的交点来表示方程的解．这是数学史上的一项革新，它提供了解方程的一个有力工具．笛卡儿用这种方法求出了形如z3=±pz±q和z4=±pz2±qz±r的方程的实根．

 

　　则圆与抛物线在轴左边的交点F给出方程的正根，笛卡儿称为“真正的根”；另一边的交点G和H则表示方程的负根，笛卡儿称为“假根”，因为他不承认方程的负根．实际上，笛卡儿是把圆和抛物线放在以A为原点的同一坐标系内来考虑的．若用现代符号表示，则抛物线方程

　　为 x2=y， (1)

　　圆的方程为

　　

　　化简得 x2＋y2＝qx＋(1+p)y． (2)

　　把方程(1)和(2)联立，所得解的x值即圆与抛物线的交点的横坐标，也就是方程z3＝pz＋q的解．在这里，笛卡儿把方程的解、方程组的解，以及代表方程的曲线的交点都统一在坐标系内，这种思想是相当出色的．

 

　　在第三卷中，还有一部分内容是专门讨论方程的，具有独立的代数意义．著名的笛卡儿符号法则就是在这里提出的．

　　纵观笛卡儿的《几何》，虽然篇幅不过百页，却已奠定了解析几何的基础．笛卡儿把曲线与方程相联系的观点，不仅是曲线理论而且是整个数学思想的重大突破．他还进一步认识到，如果两条曲线以同一个坐标系为参考，则其交点由它们的方程之解来确定．这种思想远远高出了他的同时代人，正如数学史家芬克(Karl Fink)所说：“从来都没有谁作过任何尝试，企图把不同次数的几条曲线同时表示在一个坐标系中……甚至连费马也没有尝试过．笛卡儿所系统完成的恰恰是这件事．”

　　但是，笛卡儿同费马一样不考虑负坐标，这就不可避免地给他的研究工作带来局限性．另外，他对几何作图题的强调掩盖了解析几何的主要思想——用代数方程表示并研究曲线．许多和他同时代的人认为解析几何主要是为了解决作图问题．当然，笛卡儿本人是清楚这门学科的意义远不止于此的．他在《几何》的引言中说：“我在第二卷中所作的关于曲线性质的讨论，以及考查这些性质的方法，据我看，远远超出了普通几何的论述．”

　　笛卡儿的《几何》还有一个特点，即很少证明．实际上，笛卡儿不仅熟悉欧氏几何的证明方法，也完全会用代数方法证明几何问题．他有意删去定理的证明，大概是为了使文章简短和利于自学．他在一封信里把自己比做建筑师，说自己的工作是指明应该做什么，而把手工操作留给木工和瓦工．他还说：“我没有做过任何不精心的删节．”他在《几何》中明确表示：他不愿夺去读者们自己进行加工的乐趣．他说之所以删去大多数定理的证明，是因为如果读者系统考查他的题目，则证明就成为显然的了，而且这样学习会更为有益．不过，由于笛卡儿的《几何》过于难懂，还是影响了解析几何的传播速度．后来有人给此书写了许多评注，使它易于理解．