解放军文职招聘考试微分方法的形成

 微分方法的形成

　　微分方法形成于对速度、切线和极值的研究．

　　关于切线的新观点是伽利略首先提出的，他认为作斜抛运动的物体具有两个方向的速度——水平速度PQ和垂直速度PR，它们的合速度是以PQ和PR为边的平行四边形的对角线PC(图11．7)，它代表了物体在P点运动的方向，即运动轨迹在P点的切线．在这一认识的基础上，伽利略的学生、意大利数学家托里切利(E．Torricelli，1608—1647)对切线作了进一步的研究．

 

　　托里切利的方法可用现代数学语言叙述如下：设O是抛射体M的初始位置(图11．8)，M具有垂直下落的速度gt(g是重力加速度)及水平速度u，于是在瞬间t有

 

 　

　　可见动点M(即抛射体)的轨迹是抛物线．由于垂直速度与水平速度之比为

　　

　　再应用相似三角形的性质，可知M点的切线同抛物线对称轴的交点与顶点的距离为y．所以，只要由o点向上量出y，就很容易作出M点的切线了．不过这种方法只局限于力学范畴，不能适用于一般的曲线切线．

　　同托里切利相比，费马的方法就普遍多了．在“求最大值和最小值的方法”(Methodus ad Disquirendam Maximamet Minimam， 1637)一文中，费马求切线的方法大致如下：

　　设PT是曲线在P点的切线(图11．9)，PQ⊥TQ．费马称TQ为次切线，只要知其长，便可确定T点，从而作出切线TP．

　　为确定TQ，设QQ1为TQ的微小增量，其长为E(相当于今天的Δx)．

 

∵△TQP∽△PRT1，

 

　　费马认为，当E很小时，RT1同RP1几乎相等，因此有

　　 

　　若改写成现在的符号，以f(x)代替QP，则上式变为

　　

　　这时，费马先用E同除分子和分母，然后再让E＝0，便得到TQ的数值．显然，他的方法已接近微分了，只是还未提炼出E→0的极限概念．数学史家伊夫斯(H．Eves)称费马的工作是“微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作．”①

　　在同一篇论文中，费马还用类似的方法处理了如下的极值问题：分一个量为两部分，使它们的乘积最大．费马令B为给定的量，以A和B－A表示所求的两部分．他认为在E很小时，A－E与A几乎相等，所以他写成

A(B-A)＝(A-E)[B-(A－E)]，

　　即 2AE-BE-E2=0．

　　除以E后得 2A-B-E=0．

　　令E=0，得2A＝B，这便是所求的划分．从本质上来说，费马的方法等价于

　　

　　如果我们注意一下图11．9，就会发现一个含微小增量的三角形PRT1，它被莱布尼茨称为“微分三角形”，沿用至今．帕斯卡认真研究了这种三角形．在他的《戴东维尔的某些几何发现的信件》(Lettres de A．Dettonville contenant quelquesunes de ses inventions de gēomētrie， 1659)①中正确指出，当区间(即PR)很小时，“弧可以代替切线”，因此可由微分三角形来决定切线．从微积分的观点来看，微分三角形即是由自变量增量Δx与函数增量Δy为直角边所组成

十分重要的．实际上，揭示微分三角形的实质就等于掌握微分概念．不过帕斯卡却忽视了微分三角形两边的商对于决定切线的重要性，所以没有击中微积分的要害．

　　认识微分三角形两边之商对于决定切线的重要性的是英国的巴罗．在《几何讲义》(Lectiones geometricae， 1670)一书中，巴罗叙述的方法大致如下：

　　如图11．10，欲求给定曲线上P点的切线，令Q为曲线上点P的邻点，则△PTM与△PQR接近于相似．巴罗认为，当小三角形变得无限小时，则

　　

 

　

　　令QR＝e，RP＝a，若P的坐标是x和y，则Q的坐标是x－e和y-a．将这些值代入曲线方程，并略去e和a的二次以上的项，即可求出比值

　　(x-e)3＋(y－a)3=r3，

　　即 x3－3x2e＋3xe2－e3＋y3－3y2a+3ya2-a3=r3．

　　略去e和a的二次以上的项，得

　　x3－3x2e+y3－3y2a=r3，

　　即 3x2e＝－3y2a．

　　

　　几何与微积分的关系，如果没有解析几何中的坐标观念和以方程表示曲线的理论，是不会产生微分概念的．

　　巴罗的贡献不仅在于微分，还在于他首次认识到作切线与求积的互逆关系，这说明他已对微积分基本定理有了局部的认识．他的这项成果反映在《几何讲义》第十讲中．

　　为方便起见，设y轴和z轴方向相反，并设f(x)为增函数．如图11．11，以曲线y＝f(x)为一边的曲边梯形面积用z＝A(x)表示．给定x轴上的一点D(x0，0)，设T是x轴上一点，使得

 　

 　

　　巴罗断言：直线TF与曲线z=A(x)只在点F(x0，A(x0))相接触，即TF是z=A(x)的切线．从微积分的观点看，这相当于由z＝

标．这显然与微积分基本定理相符．不过，巴罗并没有用分析的方法定义斜率，也没有从理论上总结出微分与积分的互逆关系．他只用如下方法证明了他的结论．

　　设x1＜x0，由I(x1，A(x1))作IL∥x轴，交TF于K．

　

　　∴ LF＝LK·DE．

　　但LF＝DF－PI＝A(x0)－A(x1)＜DP·DE(考虑到f(x)是增函数)，

　　∴ LK·DE＜DP·DE，

　　∴ LK＜DP=LI．

　　即K在I的右边．

　　同理可证x1＞x0时K亦在I的右边，所以直线TF与曲线A(x)只有一个接触点F．

　　显然，巴罗的思想完全是以几何面貌出现的，所以还不能看作微积分的真正创始．

　　综上所述，数学家们已经作了大量属于微积分范畴的工作．但如果说他们已经发明微积分，那就不合适了．因为微积分的产生需要三个不可或缺的条件：一是引入变化率的概念；二是建立具有普遍意义的微分和积分方法；三是确认微分与积分的互逆关系．但上述数学家的兴趣都在于今天说来应该算是微积分应用的那些方面——作切线、求面积、求体积等等．尽管在具体工作中一步步接近微积分，但谁也没有抽象出变化率这个微积分的基本概念，谁也没有建立起普遍适用的方法．巴罗虽然在几何问题中注意到作切线与求积的互逆关系，但并没有从理论上概括出微积分基本定理．至于其他数学家，则从未考虑过这种互逆关系．

　　实际上，数学中的重大突破总是与许多人的辛勤工作分不开的．在此基础上需要一位杰出人物走那最后的，也是最关键的一步，这个人要能够从大量材料中清理出前人的有价值的思想，能够洞察问题的本质，给予理论上的概括和提高．在微积分方面，这个人就是牛顿．