解放军文职招聘考试《流数简论》

 《流数简论》

　　《流数简论》表明，牛顿微积分的来源是运动学．1666年，他在坐标系中通过速度分量来研究切线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键．

　　牛顿把曲线f(x，y)＝0看作动点的轨迹，动点的坐标x，y是时间的函数，而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线，所以曲线f(x，y)＝0的切线斜率

所以牛顿便在后来称它们为流数，实际上就是x和y对t的导数：

　　

　　而它们的比就是y对x的导数

　 

布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便．

　　牛顿考虑的第一个问题是：给定x和y的关系f(x，y)＝0，求

 　

的次数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度(流数)之间的关系．若用子表示，则为

　　

　　它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法则．实际上，这个式子

 　

　　牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明(1)式的．他认为，作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同，“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为x和y，那么到下一时刻所描绘的线段就是x＋xo和y＋yo．”牛顿用x＋xo和y＋yo代替f(x，y)＝0中的x和y，于是有

　　

　　按二项式展开并略去o的二次以上(含二次)的项，得

　　

　　除以o后便得到(1)式．作为一个实例，可把y＝xn写成f(x，y)＝y－xn的形式，由(1)式推出　

 

　　 

的代数式)．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：

　　

　　其中A表示曲线y=f(x)下的面积．从《流数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：

 

　　设y表示曲线f(x)下的面积abc(图11．13)，并把它看作垂

　　平行移动，描绘出面积x和y，它们随时间而增加的速度是be和bc，”显然，be＝1而bc=f(x)．因此，牛顿认为面积y随时间的变化率是

　　 

　　这显然等价于(2)式，就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．他把求积问题看作求变化率的逆过程，即把y看作f(x)的积分(不定积分)．

　　牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积y＝

 　

　　在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出变量代换法，它

变量z＝1＋xn，其流数比为

　　 

　　这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为

　　

　　类似地，牛顿在积分中也采用了代换法，并在稍后的著作中总结出代换积分公式．这个问题将在下面讨论．

　　《流数简论》中，牛顿还导出函数的积和商的微分法则．设y=u(x)·v(x)，则由计算流数之比的基本法则得到

　　

至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列出．

　　由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提出微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分．不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的．