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解放军文职招聘考试《流数简论》

来源: 2017-11-22 19:34

 《流数简论》

  《流数简论》表明,牛顿微积分的来源是运动学.1666年,他在坐标系中通过速度分量来研究切线,既促使了流数法的产生,又提供了它的几何应用的关键.

  牛顿把曲线f(xy)0看作动点的轨迹,动点的坐标xy是时间的函数,而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线,所以曲线f(xy)0的切线斜率

所以牛顿便在后来称它们为流数,实际上就是xyt的导数:

  

  而它们的比就是yx的导数

  

布尼茨发明的,我们这里采用它们是为了叙述方便.

  牛顿考虑的第一个问题是:给定xy的关系f(xy)0,求

  

的次数……令这些乘积的总和等于零.这个方程就给出速度(流数)之间的关系.若用子表示,则为

  

  它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法则.实际上,这个式子

  

  牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明(1)式的.他认为,作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同,“因此,如果到某一时刻,它们已描绘的线段为xy,那么到下一时刻所描绘的线段就是xxoyyo.”牛顿用xxoyyo代替f(xy)0中的xy,于是有

  

  按二项式展开并略去o的二次以上(含二次)的项,得

  

  除以o后便得到(1)式.作为一个实例,可把yxn写成f(xy)yxn的形式,由(1)式推出 

 

   

的代数式).他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现,即:

  

  其中A表示曲线y=f(x)下的面积.从《流数简论》可以看出,他是用如下方法推导这一重要定理的:

 

  设y表示曲线f(x)下的面积abc(1113),并把它看作垂

  平行移动,描绘出面积xy,它们随时间而增加的速度是bebc,”显然,be1bc=f(x).因此,牛顿认为面积y随时间的变化率是

   

  这显然等价于(2)式,就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标.他把求积问题看作求变化率的逆过程,即把y看作f(x)的积分(不定积分)

  牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系.如果面积y

  

  在解决了基本的微积分问题后,牛顿又进一步提出变量代换法,它

变量z1xn,其流数比为

   

  这便是我们熟知的幂函数微分公式,它的现代形式为

  

  类似地,牛顿在积分中也采用了代换法,并在稍后的著作中总结出代换积分公式.这个问题将在下面讨论.

  《流数简论》中,牛顿还导出函数的积和商的微分法则.设y=u(x)·v(x),则由计算流数之比的基本法则得到

  

至于函数和的微分,牛顿认为是显然的,没有作为公式列出.

  由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念,明确提出一般性的微积分算法,特别是提出微积分基本定理,所以说他“发明”了微积分.不过,他当时只是观察到这一重要定理,至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的.

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