解放军文职招聘考试《运用无穷多项方程的分析学》

《运用无穷多项方程的分析学》

(下简称《分析学》)

　　在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为

z＝axm，

　　其中m是有理数．他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示．由曲线、x轴、y轴及x＋o处纵坐标所围成的面积用z＋oy表示(图11．14)，其中oy是面积的瞬，于是有

 

z+oy＝a(x＋o)m．

　　根据二项式定理

　　

　　考虑到z＝axm，并用o去除等式两边，得

　　

　　略去仍然含o的项，得x

y=maxm-1．

　　这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式，或者说是面积z在点的变化率

 

线为y=maxm-1；反之，若曲线是y＝maxm-1，则它下面的面积是z=axm．在这里，牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法，而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用现代符号表出)

(axm)′＝maxm-1；

 

　　在证明了面积的导数是y值，并断言逆过程是正确的以后，牛顿给出下面的法则：若y值是若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：

　　 ∫[f1(x)+f2(x)＋…+fn(x)]dx=∫f1(x)dx

　　＋∫f2(x)dx+…+∫fn(x)dx．

　　他对如下的积分性质也有明确认识：

∫af(x)dx ＝a∫f(x)dx．

　　他利用上述知识得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题．

在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如 　

　　然后对这个无穷级数逐项积分，得

　　

　　他说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了．

　　

　　y＝1-x2＋x4－x6＋x8－… (1)

　　

　　y＝x-2－x-4＋x-6-x-8＋… (2)

　　他说，当x很小时，应该用(1)式，若x较大就必须用(2)式了．可见他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有提出收敛的概念．

　　同《流数简论》相比，《分析学》的另一项理论进展表现在定积分上．牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和，这种观念与现代是接近的．为了求某一个区间的确定的面积即定积分，牛顿提出如下方法：先求出原函数，再将上下限分别代入原函数而取其差．这就是著名的牛顿—莱布尼茨公式，是他与莱布尼茨各自独立发明的．若采用现代数学符号，该公式可表述为：若F(x)是f(x)在区间[a，b]

　　

中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题，所以它是十分重要的．

　　《分析学》中还有其他一些出色的成果，例如，书中给出求高次方程近似根的方法(即牛顿法)，导出正弦级数及余弦级数，等等．

 

　　到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法．不过他在概念上仍有不清楚的地方．第一，他的无穷小增量o是不是0？牛顿认为不是．既然这样，运算中为什么可以略去含o的项呢？牛顿没有给出合乎逻辑的论证．第二，牛顿虽然提出变化率的概念，但没有提出一个普遍适用的定义，只是把它想象成“流动的”速度．牛顿自己也认为，他的工作主要是建立有效的计算方法，而不是澄清概念，他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证．”牛顿的态度是实事求是的．