解放军文职招聘考试《新方法》

 《新方法》

　　这是莱布尼茨公开发表的第一篇微积分论文，是对他的微分成果的概括．

　　莱布尼茨在论文中对微分给出如下定义：“横坐标x的微分dx是一个任意量，而纵坐标y的微分dy则可定义为它与dx之比等于纵坐标与次切线之比的那个量．”即

 

　　用现代标准来衡量，这个定义是相当好的，因为y与次切线之比就是切线的斜率，所以该定义与我们的导数定义一致．不过莱布尼茨没有给出严格的切线定义，他只是说“求切线就是画一条连接曲线上距离为无穷小的两点的直线．”

　　莱布尼茨还给出微分法则d(xn)＝nxn-1dx的证明及函数的和、差、积、商的微分法则的证明．例如，为求d(uv)(其中u，v是x的函数)，先让u变为u＋du，v变为v＋dv，于是

d(uv)＝(u＋du)(v＋dv)-uv．

　　而 (u＋du)(v＋dv)＝uv＋udv＋vdu＋dudv，

　　所以 d(uv)＝udv＋vdu+dudv．

　　莱布尼茨认为dudv对于udv+vdu来说是无穷小，可以舍去，从而得出

d(uv)=udv+vdu．

　　莱布尼茨十分注意微分法的应用，他在文章中讨论了用微分法求切线、求极大值、极小值以及求拐点的方法．他指出，当纵坐标v随x增加而增加时，dv是正的；当v减少时，dv是负的；“当v既不增加也不减少时，就不会出现这两种情况，这时v是平稳的．”所以v取得极大值或极小值的必要条件是dv＝0，这对应于水平切线．他还说明了拐点的必要条件是d(dv)＝0，即二阶微分为0．

　　在文章的末尾，莱布尼茨解决了一个笛卡儿未能解决的问题：求纵坐标为w的曲线，使其次切距为常数a．对于这样的曲线，有

　 

　　莱布尼茨考虑x值的一个等差数列，其公差为dx＝b，代入(1)，得

　　

　　显然，w的序列与其差的序列成正比，这正是几何级数特有的性质，所以莱布尼茨断言：如果x值构成算术序列，则w值构成几何序列．换句话说，如果w是一些数，则x是它们的对数．因此，所求的曲线是对数曲线．”

　　莱布尼茨充分认识到微分法的威力，他说：这种方法“可以用来解决一些最困难的、最奇妙的数学问题，如果没有我们的微分学或者类似的方法，这些问题处理起来决不会这样容易．”

　　1686年，莱布尼茨又在《博学学报》上发表了一篇题为“论一种深刻的几何学与不可分元分析”(De Geometria recon－dita et Analysi Indivisibilium atque Infinitorum)的论文，它与《新方法》是姊妹篇，前者以讨论微分为主而本文以讨论积分为主．文中的积分号∫是在出版物中首次出现的．莱布尼茨强调说，不能在∫下忽略乘以dx，因为积分是无穷小矩形ydx之和．他在文中用积分方法导出了摆线方程，即

　　

　　他说：“这个方程完全表示出纵坐标y同横坐标x间的关系，并能由此推出摆线的一切性质．”他还通过积分来计算圆在第一象限的面积，从而得到π的一个十分漂亮的表达式(图11．22)．由分部积分公式

 

 　

　　　

　　　　　　　 

　　1686年以后，莱布尼茨继续研究微积分．在求曲线曲率、曲线族包络、判断级数收敛和求解微分方程方面都取得出色成果．