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解放军文职招聘考试无穷级数

来源: 2017-11-22 19:37

 无穷级数

  无穷级数是18世纪英国数学留给人们的最后成就,要不是泰勒级数与马克劳林级数这两个今天仍在使用的名称,18世纪数学很可能就没有英伦三岛的影响了.泰勒于1685818日出生于爱丁堡,17311229日在伦敦去世.他曾就读于剑桥大学圣约翰学院,是牛顿的崇拜者.1715年他发表了《增量方法及其逆》(Methodus Incrementorum Directa et Inversa),奠定了有限差分法的基础.17世纪,牛顿、莱布尼茨等人曾研究过有限差分问题,泰勒的工作则使有限差分法从局限的方法(如二项式定理、有理函数的长除法、待定系数法等等)过渡到了一般的方法.这本书中他给出了单变量幂级数展开的著名公式,即泰勒级数

  

  1717年他运用这个级数求解数字方程,取得了很好的结果.但是他的证明是不严格的而且没有考虑收敛问题,在当时影响并不太大.直到1755年,欧拉在微分学中应用泰勒级数,并且推广到多元函数,才使其影响大增.随后拉格朗日用带余级数作为其函数论的基础,才正式确立了其重要性.19世纪,柯西(ALCauchy)为泰勒级数给出了严格的证明.

  马克劳林是数学史上的奇才之一.11岁就考上了格拉斯哥大学,15岁取得硕士学位.27岁时成为爱丁堡大学数学教授助理.他与牛顿关系极好,牛顿曾为他提供了生活、研究经费.牛顿又推荐他继承了詹姆士·格雷戈里(James Gregory16381675)曾担任的数学教授.他在几何理论、潮汐的数学理论方面做了许多有价值的工作.1742年,发表《流数论》(Treatise ofFluxions)一书,书中给出了著名的马克劳林级数

  

  在书中他说明这个结论只是泰勒级数h0时的特殊情形,但历史上却依然单独命名归功于他.《流数论》一书的真正贡献却是对牛顿流数法给出了第一篇合乎逻辑的、系统的解说,部分地回答了贝克莱(BBerkeley16851753)等对微积分的诘难,捍卫了牛顿的学说.

  级数方面真正广阔的工作是1730年左右从欧拉开始的.欧拉得出了许多美妙的结论,尽管其过程是不够严格、甚至错误的.17341735

将此式看作为无穷次的多项式,利用代数方程根与系数的关系,得到了下列关系式:

  

等关系式.同时他还第一次给出了关系式

  

  他的论据很简单,sinx=0的根有±π,±2π,±3π…,类似于每个多项式的每个根都必有一个一次因式,因此sinx有因式(x-π)(x+π)(x2π)(x2π)(x-3π)(x3π)…,因此有上述等式.令上述等式为0,应用根与系数的  

  令x=123,…,n,得到

  

  …,这是数学中的一个重要常数,到今天人们依然不知道它是有理数还是无理数、代数数还是超越数.

  无穷级数中另一类重要的数是贝努利数,这是詹姆士·贝努利在求整数的正n次幂之和的公式中给出的:

  这个式子一直加到n的最后一个正幂为止.B2B4B6…是贝努利数,

 

了可以计算这些系数的递推公式.利用这种贝努利系数,他计算出前1000  

  利用贝努利数,18世纪出现了一批极漂亮的无穷级数表达式.欧拉

  1730年,斯特灵(JStirling16921770)得到了

 

称这个式子为斯特灵逼近.

  到18世纪时,各种函数的展开式都陆续得到了.如牛顿二项式定理 

(1x)arc sinx的展开式,莱布尼茨等得到了sinxcosxarc tgx及其他各种展开式.当然,泰勒级数为各种函数展开式提供了最一般的方法.因此,18世纪无穷级数在广度上得到了长足的发展.

  自从欧拉发现了三角函数的周期性后,由于天文现象大都是周期的,因此为了研究天文学,三角级数在18世纪受到了数学家们的广泛重视.1729年,欧拉遇到了这样的插值问题:已知一个函数在xn处的值(n为正整数),求f(x)在其他x处的值.在对这个问题的研究中,他得到了

  17541755年,欧拉还得到函数的三角级数

  

  (0-π<x<π)

  1757年,克莱罗在研究太阳摄动问题时宣称,他将把任何一个函数

  

的正确公式.1777年,欧拉在研究天文学时,用三角函数的正交性得到

  三角级数的重要性使得人们在不断地进行着这样的努力,即把所有类型的函数都表示成三角函数.但是欧拉等数学大师却对此持怀疑态度.因此,是否任何函数都能展成三角级数就成了人们关注的问题.随着物理研究,特别是热学、声学的进展,三角级数越来越为人们所重视,三角级数的真正突破性进展是在19世纪,不仅如此,三角级数还带来了19世纪纯数学理论的突破.18世纪三角级数的工作只不过是19世纪的先声.

  早在1668年,詹姆士·格雷格利(James Gregory)就开始使用“收敛”与“发散”的名称,牛顿、莱布尼茨等人也注意到了这个问题,17131025日莱布尼茨甚至在给约翰·贝努利的信中明确地提出了今天

 

达朗贝尔等也注意到了收敛问题.1768年,达朗贝尔给出了今天的“达  

x+x2+x3+…中令x=2,出现了-11248+…的式子,欧拉  

行纯形式的推导,出现了许多荒谬的结果.

  18世纪无穷级数方面的工作除了得到许多漂亮、美妙的结果外,主要是发展了两个富有生命力的思想.其一是发散级数可以用来逼近函数,这一点对函数逼近论极为有用;其二是级数在解析运算中代表函数,这样就为函数论注入了新的活力.至于严格性问题,则几乎全部留给19世纪了.

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