解放军文职招聘考试微分方程

 微分方程

　　虽然在牛顿、莱布尼茨创立微积分时，微分方程已经出现．但是，直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科．可以这样认为，微分方程历史的第一个时期，是由牛顿、莱布尼茨开始，直到整个18世纪结束．1676年，詹姆士·贝努利在致牛顿的信中第一次出现了“微分方程”一词，以后从1684年起经过惠更斯(C．Huygens)、莱布尼茨等人的提倡开始通用起来了．但我们今天所熟知的微分方程形式，则直到1740年才由封田提出．

　　18世纪微分方程的建立，主要是为了解决这样几大类物理问题：(1)弹性理论；(2)求解摆的运动方程；(3)天文学理论，尤其是二体、三体问题以及月球的运动．当然，除此之外还有一些数学问题的推动．

　　贝努利家族在17世纪末、18世纪前半叶的数学领域十分活跃，尤其是詹姆士·贝努利与约翰·贝努利兄弟之间的竞争为数学史增加了十分有趣的一页．詹姆士从1687年到去世一直担任瑞士巴塞尔大学的数学讲座教授，约翰在1697年成为荷兰格罗尼根大学的教授，后来他又在1705年詹姆士去世后继任其兄的教授席位．他们兄弟俩是发展微积分的大师，并且与牛顿，尤其是与莱布尼茨交往密切．以詹姆士·贝努利(又称雅各布·贝努利)命名的数学成果有：贝努利分布、贝努利定理、贝努利数、贝努利多项式、贝努利双纽线．约翰·贝努利有三个儿子：尼古拉斯(Nicolaus，1695—1726)、丹尼尔(Daniel，1700—1782)、约翰(Ⅱ)(Johann(Ⅱ)，1710—1790)，他们是18世纪重要的数学家、科学家．约翰·贝努利(Ⅱ)的儿子及孙子都在数学、科学上有一定的成就．贝努利家族是一个祖孙六代、共数十人的数学大家族．(贝努利家谱见p398)

 

　　贝努利家族在数学史上的贡献是多方面的．在微积分、微分方程、无穷级数、变分法、数学物理、组合论等领域都有极大的创见．欧拉曾师从约翰·贝努利．

　　詹姆士·贝努利、约翰·贝努利解决了许多由物理问题所引出的微 　

　　1695年，詹姆士·贝努利提出了今天熟知的贝努利方程：

　　

约翰、詹姆士都解决了这个问题．莱布尼茨则在1696年证明利用

 

　　变量替换Z＝y1-n，可以把方程化为线性方程： 　

分即可．1694年，约翰·贝努利系统地总结了变量分离方程与齐次方程的解法．

　　多元函数微分以及全微分为解微分方程提供了另外一种有效的方法．克莱罗和欧拉都已经认识到，如果微分方程P(x，y)dx ＋Q(x，y)dy＝0是某个函数的全微分——即称该方程为恰当的，那么它一定可以积分，其方程的通解为

　　

　　恰当方程可以通过积分求出它的上述通解，因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程就具有非常重大的意义，为此欧拉、封田、克莱罗分别于1734，1735，1739年引入了积分因子的概念：如果存在函数μ=μ(x，y)≠0，使得μ(x，y)P(x，y)dx＋μ(x，y)Q(x，y)dy≡dv=0为一恰当方程，则称μ(x，y)为P(x，y)dx+Q(x，y)dy＝0的积分因子．寻找积分因子一时成了求解微分方程的重要技巧，它对微分方程有着非常重要的意义．到1740年左右，求解一阶方程的所有初等方法都已清楚了．于是，人们开始寻求解一阶微分方程的统一方法．人们发现所有一阶微分方程都可归结为y′=f(x，y)或P(x，y)dx＋Q(x，y)dy＝0．莱布尼茨曾专门寻求过只用变量代换的方法求解一阶微分方程．欧拉则试图利用积分因子统一处理这一问题，结果发现单纯采用哪一种方法都有困难和不便．人们发现，能用初等解法求 出其解的一阶微分方程也极其有限．

　　高阶微分方程在17世纪已经出现了，牛顿、詹姆士·贝努利实际上已经求解过特殊的二阶微分方程．18世纪由于力学等问题的研究，二阶方程更为人所重视了．1728年欧拉开始研究二阶方程．丹尼尔·贝努利

 

　　丹尼尔·贝努利还于1724年解决了意大利数学家黎卡提(J．F．C．Riccati，1676—1754)提出的黎卡提方程

　　

替换后化成了一阶方程，这种方法本身是处理高阶常微分方程的主要手段．欧拉、达朗贝尔分别于1730年，1736年考虑过该方程．达朗贝尔 论：若已知一特解v，则变换y= v＋v-1把方程化为线性的．1841年刘维尔(J．Liouville，1809—1882)证明了：如果y0(x)是黎卡提方程的解，则y=z＋y0(x)将把原方程转化为贝努利方程．该方程在数学史上的重要性，在于它揭示了微分方程解的复杂性．能用初等函数求解的微分方程极少．欧拉在1728年曾写过一篇论二阶微分方程的文章，讨论如何利用变量觉替换将它们化为一阶方程，这些方程有三类：

　　

　　axmy-m-1dxpdy2-p+bxny-n-1dxqdy2-q＝ddy；

　　Pxmdym+1+Qxm-bdxbdym-b+1=dxm-1ddx．

　　他分别通过引入变量替换y=evt(v)，x=eav；x=cv，y＝cvt(v)；x=cv，将它们化成了一阶方程．

　　在高阶方程方面，丹尼尔·贝努利1734年12月写信告诉欧拉，他 

的级数解．弹性问题促使欧拉考虑求解一般线性方程的数学问题．1743 　

的特征方程A＋Br＋Cr2＋Dr3＋…＋Lrn＝0．当qi是该方程n个不 

征方程有重根q时，令y＝eqxu(x)，则其通解为

y＝eqx(α+βx＋γx2＋…＋κxk-1)(k为根q的重数．)

　　　　　　　　　　　　＝α-iβ也是k重特征根，于是原方程有2k个特解(实值)：

　　eaxcosβx，xeaxcosβx，x2eaxcosβx，…，xk-1eaxcosβx，

　　eaxsinβx，xeaxsinβx，x2eaxsinβx，…，xk-1eaxsinβx．

　　这样，欧拉完整地解决了常系数线性齐次微分方程，这种方法今天称为欧拉方法，成为常微分方程课本中的标准内容．几乎与此同时，丹尼尔·贝努利也得到这种方法．在对微分方程的研究中，欧拉最早引入名词“特解”(Valor Particularis)、“通解”(aequato Integralis Completa， 即方程的全积分)，并且指出，n阶方程的通解是它n个特解的线性组合．

　　随后，欧拉在1750—1751年公布了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是用emxdx乘方程两端，如对于方程

 　

　　这样由A－Bm＋cm2＝0，可以求出m，于是原方程化为

　　

　　从而可以求解．1766年，达朗贝尔指出，非齐次方程的通解是其特解与系数相同的齐次方程的通解之和．

　　拉格朗日在1766—1777年间，详细研究过常数变易法，并且将它运用于上述方程．不仅如此，他还开始了对变系数微分方程的研究．在1762—1765年的工作中，他引出了伴随方程的概念，其思想是降低方程的次数．他将欧拉对常系数线性微分方程得到的某些结果作了推广．他还发现，如果已知齐次线性方程的r个特解，那么它的阶数可以降低r．  　

　　同时他还得到了著名的等式

　　F(－n，b，c；x)＝(1-x)c+n-bF(c＋n，c-b，c；x)．

　　及

　　　　

　　(1－tx)ndt，(Re(c)＞Re(b)＞0)．

　　大大地推广了牛顿等人用级数求解微分方程的方法．

　　在解决天文学一系列问题的过程中，开始涉及到微分方程组，如讨论两个质量为m1，m2的物体，分别在位置(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)上互相吸引下的运动，描述其运动的方程组就是：

 

　　r2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2．

　　1750年，达朗贝尔开始对常微分方程组进行较详细的研究，并且把待定乘数法应用到常系数的线性方程组．18世纪，在研究两个物体或多个物体的相互吸引的问题时，常常导致求解常微分方程组．不过许多情况下往往化解成求解单独一个微分方程．

　　n体问题，哪怕是三体问题就够令人头痛了．在这方面拉格朗日、拉普拉斯做出了卓越的贡献．为了研究摄动理论，他们提出了参数变值法．1739年欧拉用这种方法研究过二阶方程y〃+k2y＝X(x)，1748年他最先用参数变值法研究行星运动的摄动——木星和土星的相互摄动，由此他获得了法国科学院奖金．1772—1777年拉普拉斯写了许多篇这方面的论文，而拉格朗日则使这种方法成为了系统的理论，如他将单个常微分方程的参数变值法应用到n阶方程：

　　P(x)y＋Q(x)y′＋R(x)y〃＋…＋V(x)y(n)

　　＝X(x)．

　　拉格朗日还利用参数变值法研究了非齐次常微分方程组．

　　

y2－2zyy′＋vy′2＝1．

　　微分这个方程，有2y〃(vy′－zy)＝0．

y2＝v和x＝1．

　　由此他看到这个解不能从通解中得到，于是他称这个解为“奇(singularis)解”．随后克莱罗和欧拉对奇解作了详细的讨论．

　　1734年，克莱罗在求解今天称之为“克莱罗方程”

y=xy′＋f(y′)

　　时，令p＝y′，则有y=xp+f(p)，

 

　　得y′＝c，y＝cx＋f(c)．

　　这是方程的通解，并且是一直线族．而由x＋f′(p)＝0，与原方程一起就可以消去p，这样就给出了一个新的解——它就是奇解．1736年，他用微分求出并且肯定地指出了微分方程

的奇解和通解．他清楚地认识到奇解不包括在通解之中．但他没有认识到奇解是包络这一事实．而对于这一点莱布尼茨在1694年就已经看到了．实际上，克莱罗方程的奇解是由方程组

　　

给出的，而曲线族y=cx＋f(c)的包络是由方程组

　　

得到的．可以看出二者是一致的．

　　1750年，1772年达朗贝尔分别把克莱罗的上述求奇解的方法推广

方程有积分因子μ(x，y)，那么方程

　　

　　克莱罗和欧拉给出了从微分方程本身求出奇解的方法：从f(x，y，

　　更深入地研究奇解性质以及奇解与通解关系的是拉格朗日．他给出了一般的方法，尤其是给出了从通解消去常数而得到奇解的方法：已知

　　

=0消去α即可得到奇解．他还给出了奇解的几何解释：奇解是一积分曲线族的包络．同时他还研究了高阶方程的奇解，以及求具有给定奇解的方程的问题．

　　1768年，欧拉发展了微分方程的近似积分法，即用近似方法求解方程

　　　　

　　1769年他曾把这种方法应用于二阶方程．

　　探索常微分方程的一般方法到1775年已基本告一段落，今天教科书中常用的变量分离法、积分因子法、变换法、降阶法都已经出现在18世纪的各种文献中．但是18世纪的常微分方程基本上是各种类型的孤立技巧的汇编．常微分方程的完整理论如奇解理论、稳定性理论等等，都留给了19世纪．

　　18世纪在偏微分方程方面的成就比较小．其主要成就是揭示了它们对于弹性力学、水力学和万有引力问题的重要性，同时为19世纪的发展奠定了基础．

　　弦振动问题是偏微分方程的出发点．

　　1715年和1727年，泰勒，约翰·贝努利分别得到了著名的弦振动方程

　　

　　1749年，达朗贝尔用现代教科书中经常引用的方式巧妙地求出了方程的解为y(t，x)＝f(ax＋t)+Ψ(ax－t)．

　　1738年，丹尼尔·贝努利给出了“势函数”一词，而在1752年欧拉 

L”——拉格朗日、拉普拉斯、勒让德进行了巨大的工作，在研究的过程中，他们引进了许多非常重要的函数，如勒让得函数，等等．

　　在一阶偏微分方程方面，克莱罗利用积分因子讨论了Pdx＋Qdy+Rdz＝0型方程．这种方法可以看作是他关于常微分方程积分因子、全微分方程(恰当方程)的推广．拉格朗日则对两个自变量的一阶偏微分方程f

　　蒙日开创了用几何方法研究微分方程的途径．同时，18世纪在非线性二阶偏微分方程和偏微分方程组方面，数学家们也进行了工作，不过成就较小．

　　直到1765年偏微分方程还只在物理问题中出现．这个领域内纯数学研究的第一篇论文是欧拉于1766年发表的．一般人们都把偏微分方程化为常微分方程，然后再求解．可以这样说，偏微分方程在18世纪还仅仅初具雏形．

　　但是，微分方程却在18世纪末期成为一门极其重要的数学学科，它不仅是全部数学的中心内容，同时也是自然科学中的最主要的工具．