方程与线性代数
直到18世纪，方程与代数学几乎是同义语．18世纪，人们对方程所关注的问题之一是证明每一个一元n次方程有n个根，同时人们在采 否任何实系数多项式都能分解成线性因式的乘积，解决这个问题的关键就在于证明：每一个一元n次多项式至少有一个实根或复根，这就是我们今天熟悉的代数学基本定理．
欧拉、达朗贝尔、拉格朗日在18世纪70年代都试图证明这个定理，但他们的证明都不完全正确．
第一个对代数基本定理做出严格证明的是德国数学家高斯，他的证明是1799年在其博士论文中给出的．其方法不是去计算一个根，而是去证明它的存在．他的证明富有高度创造性，开创了探讨数学中整个存在性问题的新途径，打破了存在的准则就是可构造性的传统观念，对于19世纪数学的发展具有重要意义．在数学中，开始了构造性数学与非构造性数学并驾齐驱的时代．
人们对方程感兴趣的另一个原因，是试图求解四次以上的方程．这一时期人们曾把问题集中在求解二项方程xn－1＝0上．科茨和棣莫弗用复数证明了：解这个方程相当于把圆周分成n等分．于是人们又称xn－1＝0为分圆方程．关于这个方程的有价值的工作是高斯在19世纪作出的．
求解一般的四次方程问题引起了欧拉、拉格朗日等人的关注，其中拉格朗日和范德蒙(A．Vandermonde，1735—1796)作出了杰出的贡献．对于用根式解方程的问题，从1767年起拉格朗日写了一系列论文．他的做法是，看是否有一种普遍的方法，能把任意次数的方程化为次数较低的方程．经过详尽的研究，他发现，对于二次、三次或四次方程，借助于一个低一次的“辅助”方程便可获得方程之解，但把这种方法用于方程ax5＋bx4＋cx3+dx2+ex+f=0时，辅助方程却是六次的，因此他想大概不能求得四次以上方程的解．
随后拉格朗日又换一个角度，转而研究一般方程
xn+a1xn-1＋…+an-1x＋an＝0
的根x1，x2，…，xn的函数(x1，x2，…，xn)的置换对称等性质．
作为19世纪数学家的先驱，18世纪许多数学家研究了方程根的性质．设x1，x2，…，xn是方程
xn＋a1xn-1＋…＋an-1x+an＝0
的根．令Sk=x1k＋x2k＋…＋xnk，牛顿得到了今天称之为“牛顿等式”的结果：
1762年，华林(E．Waring，1734—1798)证明了，所有关于根的有理对称函数都可以表示为方程系数的有理函数，并得到了：
牛顿还得到了方程的根与其判别式D的关系：
其中x1，x2，…，xn是方程
a0xn+a1xn-1＋…＋an－1x＋an=0
的根．
此外，范德蒙等人也进行了大量的工作．18世纪由方程的研究引入了对方程根x1，x2，…，xn所生成的函数的研究，并由此引入了初等对称、置换等一系列新的术语．所有这些工作，都为19世纪代数学的巨大发展做好了充分准备．
在1678年以前，莱布尼茨就开始了对线性方程组、行列式的研究，对消元法从理论上进行了探讨．在1693年4月28日致洛必达(G．F．A．L′Hospital)的信中，他提出了行列式的概念：“我引进方程：
此外，在两个数码中，前者表示此数所属的方程式，后者代表此数所属的字母(未知数)．”随后，他给出了一般的运算规则，这种规则就是行列式的运算规则．这样，他创设了采用两个数码的系数记号，相当于现在的aik，即上述方程组中的10，11，12，…，31，32为a10，a11，a12，…，a31，a32．为矩阵和行列式一般理论的发展提供了方便的工具．
沿着莱布尼茨的思路，18世纪人们做了发挥．1729年左右马克劳林提出了用行列式解含有两个、三个和四个未知量的联立线性方程组的解法．1750年，克莱姆(G．Cramer，1704—1752)在《线性代数分析导言》一书中给出了今天我们熟知的行列式展开的“克莱姆法则(公式)”．1764年，贝祖(E．Bézout，1730(或1739)—1783)用行列式理论建立了线性方程组的一般理论，他给出了含n个量的n个齐次线性方程，并且证明了：系数行列式等于零是方程组有非零解的条件．
范德蒙第一个系统研究了行列式理论，而不像其他人一样仅仅把行列式作为求解方程组的工具．他给出了用行列式的二阶子式和余子式展开行列式的规则．由于他脱离方程组来研究行列式，因此他被认为是行列式理论的奠基人．1772年，拉普拉斯给出了今天的拉普拉斯定理：假定在n阶行列式D中，取定某k个行(1≤k≤n)，那么在这k个行中所有k阶子式分别与其代数余子式乘积的和就是D．
18世纪数学家们讨论了多元高次方程组，这个问题是由研究高次代数曲线f(x，y)=0，g(x，y)=0的交点数而引起的．1764年，贝祖给出了从f(x，y)＝0，g(x，y)＝0中消去一个未知量的方法，并于1779年公布于众．贝祖给出了解决这个问题的消元法，并得到了这样的结论：两条代数曲线的交点数是m·n，即f(x，y)＝0，g(x，y)=0的次数的乘积．
18世纪，数学家们还考虑了求解两个多项式
f(x)＝a0xn＋a1xn-1＋…＋an=0，
有公共解的条件：关于有公共解时系数必须满足的条件称为消去式或结式．牛顿第一个研究了这个问题，他在1707年出版的《普遍的算术》中给出了从两个方程中消去x的法则．欧拉、贝祖后来给出了更一般的方法．在1764～1769年的《数学教程》(Coursde mathématique)中，贝祖给出了一般的方法：f(x)， (x)的结式等于一个行列式，这个行列式由n-1次(或更低次)的多项式gk(x)=(a0xk-1+a1xk-2＋…＋ak-1) (x)－(b0xk-1+b1xk-2+…＋bk-1)f(x)(k=1，2，…，n)的系数组成．这就是今天熟知的贝祖方法．
在整个18世纪，线性代数主要是行列式理论和消元法理论，这两个理论在这个世纪还是很有成就的．由于牛顿、欧拉、贝祖、拉格朗日、拉普拉斯的工作，具体解方程(一元高次方程，多元高次方程组，线性方程组)的方法在18世纪已相当完备了．而整个线性代数则处于萌芽起步阶段．
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