解放军文职招聘考试线性代数

 线性代数

　　四元数的出现为线性代数理论(主要是矩阵理论)的发展铺平了道路．19世纪的线性代数在行列式方面逐渐完善了，同时还新创立了重要的矩阵理论和线性变换理论．

　　柯西于1812年给出了现代意义下的行列式这个词，并且在1815年引入了把元素排成方阵并采用双重足标的记法，而1841年凯莱则引入了两条竖线，到此为止标准的行列式已经出现了：

　

　　 

　　-α′β，αβ′γ″-αβ″γ′+α′β″γ-α′βγ″+α″βγ′-α″β′γ，等．”

　　1815年柯西给出了行列式乘法：|aij|·|bij|=|cij|，其中|aij|、|bij|表示n ，舍尔克(H．F．Scherk，1798—1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等．

　　1841年，雅可比给出了行列式D的导数公式(当其元素是t的函数  

其中aij是t的函数，Aij是aij的代数余子式．

　　行列式还被用于多重积分的变量替换中．1832—1833年，雅可比给出了一些特殊的结果．1839年，卡塔兰(E．C．Catalan，1814—1894)给出了一般的结果：

　　

其中x=x(u，v)，y＝y(u，v)是D到D′变换，其中 分也有类似结果．

　　

 

　　1841年，雅可比写了一篇文章专门讨论函数行列式J．他给出了这样的结果：若J≠0，则F1，F2，…，FM(线性)无关．他还给出了雅可比行列式的乘积定理：

 

　　 

有用，利用行列式，19世纪的数学家在这方面取得了大量的成果．

　　1801年，高斯在《算术探讨》(Disquisitiones Arith-meticae)中引入

 

 　 

y2s+1-…-y2r-s．西尔维斯特(J．J．Sylvester，1814—1897)于1852年证明了著名的惯性定律：对于一个二次齐式来说，不管使用何种变换，正项的个数s以及负项的个数r-s总是不变的．

　　西尔维斯特对19世纪线性代数的发展做出了卓越贡献．他和魏尔斯特拉斯共同完成了二次型的理论．19世纪数学家们讨论了各种各样的特殊行列式如对称行列式、斜对称行列式、正交行列式，等等，得到了许多特殊的结果．如阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)于1893年得

　　凯莱(A．Cayley)是矩阵论的创始人．在19世纪上半叶他就曾系统地研究过矩阵的有关性质．1849年他曾指出：矩阵在乘法下以及四元数在加法下构成群．1850年,西尔维斯特首先使用矩阵(Matix)一

　　他写了《矩阵论的研究报告》(A Memoir on the Theory of Matrices)一文，给出了适用于n×n矩阵和m×n矩阵的许多定义：两个矩阵相等就是它们的对应元素相等；一个矩阵是两个矩阵之和，就是它的元素是两个

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　他还给出了两个矩阵相乘的法则，并且指出，m×n矩阵只能用n×p矩阵去乘．

　　凯莱指出，矩阵乘法可结合，但一般不可交换．如

 

　　AB≠BA．

　　凯莱给出了求一个矩阵A的逆矩阵A-1的公式

 

　　(其中Aij为行列式|A|中aij的代数余子式．)

　　他还断言，两个矩阵的乘积为零无需其中有一个为零矩阵．1870年，皮尔斯(B．Perice，1809—1880)引进了幂零元的概念：元素A对某个正整数n满足An=0；同时还引进了幂等元的概念：元素A对某个n满足An=A．后来，人们由此而定义了幂零矩阵AM＝0与幂等矩阵Am＝A．

　　19世纪，人们定义了对称矩阵、反对称矩阵、斜对称矩阵、转置矩阵等特殊矩阵．1854年和1878年，埃尔米特、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—1917)分别给出了正交矩阵的定义：矩阵A是正交的，如果它等于它的转置矩阵AT的逆，即M＝(MT)-1．弗罗伯尼证明了正交矩阵总能写成(S－T)/(S+T)或者(I-T)/(I+T)的形式，其中S为对称矩阵，T为反对称矩阵，I为单位矩阵．从柯西开始，人们就开始讨论相似矩阵和相似行列式．如果存在一个可逆矩阵P使得B＝P-1AP，则称矩阵A与B相似．相应地，人们也这样定义了相似行列式．

　　1879年，弗罗伯尼利用行列式引进了矩阵的秩的概念．一个m×n矩阵的秩为r，当且仅当它至少有一个r阶子式的行列式不为零，而所有高于r阶的子式的行列式都为零．矩阵的秩有一系列性质：秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B))，等等．

　　特征方程是矩阵和行列式理论中的重要内容，它最先是由欧拉开始研究的，随后拉格朗日、拉普拉斯在线性微分方程组的研究中明确地提出了这一概念，而“特征方程”这个术语则是柯西提出的．

　　矩阵A的特征多项式是由下列多项式定义的：

F(λ)＝|λI-A|=λn-C1λn-1+…＋(-1)nCn．

　　λI-A称为A的特征矩阵，F(λ)=|λI-A|＝0称为A的特征方程．

　　1858年，凯莱得到了著名的哈密顿—凯莱(Hamilton—Caylay)定理：n阶矩阵A是它的特征多项式的根，即F(A)=0．

　　1890年，泰伯(H．Taber，1860—？)得到了这样的结论：特征方程的所有根之和即特征根之和是矩阵A的对角线之和，即矩阵A之值，也就是说C1＝tr(A)=∑aij；而特征方程的常数项就是A的行列式之值，Cn＝|A|．

　　西尔维斯特还得出了“西尔维斯特定理”：若A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，m≥n，AB的特征多项式是fAB(λ)，BA的特征多项式是fBA(λ)，则fAB(λ)=λM-n·fBA(λ)．

　　1878年，弗罗伯尼提出了矩阵A的最小多项式的概念，并指出它是由特征多项式的因子形成的而且是唯一的．但直到1904年亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)才证明了唯一性，同时他还证明了，若h(x)是矩阵A的最小多项式，g(x)是A满足的任一其他多项式，则有h(x)|g(x)．

　　今天，我们把含有参数λ的矩阵叫做λ—矩阵，19世纪对λ—矩阵及其行列式进行了充分的讨论．1851年，西尔维斯特从对行列式

　　

　　以后，1878年弗罗伯尼将这两个概念引入到矩阵中，进行了大量的工作，并以完美的逻辑形式整理了初等因子、不变因子的理论，其中的重要工作是彻底弄清楚了矩阵之间关系的结构．

　　如果存在两个可逆矩阵U，V使A＝UBV，则称A，B等价．

　　1878年弗罗伯尼证明了，矩阵A，B等价的充要条件是A和B有相同的初等因子或不变因子；而早在1868年，魏尔斯特拉斯就已经证明，两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子和初等因子．他们所讨论的矩阵(同时也涉及到行列式)的元素不仅是实数，也扩充到了复元素．

　　1870年，若尔当(亦称约当)证明了任何一个矩阵A可以变到标准型

　　

　　J称为约当标准型，Ji称做对于λi的约当块．矩阵A的特征多项式 

矩阵的约当标准型的完整理论．

　　1892年，梅茨勒(W．H．Metzler，1863—？)引入了矩阵的超越函数，如eM，lnM，sinM，arc sinM(其中M为矩阵)；而且其他人将矩阵(行列式)推广到了无穷阶的情形，矩阵元素也由普通的实数、复数扩充到属于抽象域了．

　　凯莱、西尔维斯特建立了线性变换的理论．实际上，凯莱就是从两个相继线性变换的效应表示给出了矩阵的乘法定义．他们把一个矩阵看作一线性变换，从而利用线性变换处理了矩阵的相似、等价、合同等关系．后来线性变换又被应用于研究数论、射影几何，取得了巨大的成就，这一世纪已经出现了线性变换的矩阵标准形式：

 

　　实际上，由于这一时期已经有了一般的n维空间理论，而且变换的思想早已进入数学界，在数论、代数、几何中引用各种变换已成为一种基本方法，因此，19世纪形成线性变换的基本理论是势在必然的事情．