非欧几何的建立
从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设(平行公设)就一直是数学家的一块心病，它完全不能满足人们的审美要求．这条公设冗长，一点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的欧氏几何太不相称了．于是，许多数学家力图由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没有成功．尽管如此，19世纪以前依然进行了一些有价值的工作，他们中有普罗克洛斯(Proclus，约公元412—485年)、沃利斯、萨凯里(G．Saccheri，1667—1733)、克莱罗、兰伯特、勒让德、普雷菲尔(J．Playfair，1748—1819)等等．
萨凯里的工作最值得重视，在1733年发表的论文中，他从一个四边形ABCD开始，其中A和B是直角，且AC＝BD，(图13．2)易证∠C＝∠D，欧氏几何平行公设相当于∠C，∠D是直角这个论断，于是他在下列两种情形中选择：
(1)钝角假设：∠C、∠D是钝角；
(2)锐角假设：∠C、∠D是锐角．
他首先证明第1种情形不可能．其次，他在考虑第二个假设时，没有得到任何矛盾，并且得到了许多有趣的定理，本来这种没有矛盾的系统完全可以宣称是一种新几何，但他缺乏理论勇气，以“结论不合情理”而否认了．胜利的果实滑到嘴边又溜走了．
数学王子高斯在18世纪就知道要证明平行公设是徒劳的，并且在15岁时已经掌握了能够存在一种逻辑几何的思想，其中欧氏平行公设不成立，他在思想上是非常解放的，丝毫不会为传统观念所左右，也不为科学泰斗所吓倒．从1813年他就开始发展新几何，起初他称反欧几何(anti-Euclidean Geometry)，星空几何，最后称非欧(Non－Euclidean)几何，他认为非欧几何在逻辑上是相容，并且具有欧氏几何一样的可应用性．但他在行动上一向谨小慎微，怕受人奚落，不为人理解，不敢发表离经叛道的、但被他认为是正确的学说．
1826年2月12日，俄国学者罗巴切夫斯基在喀山大学数理系宣读了《论几何原理》一文①，宣告了非欧几何的创立．1835—1837年，他发表《具有平行的完全理论的几何新基础》，较好地表达了他的思想，他称他的新几何为“虚几何”．1840年用德文出版了《平行理论的几何研究》(GeometrischeUntersuchun－genZurTheoriederparalle-llinien)，在双目失明后仍口授出一部关于他的几何的完全新的说明，于1855年以《泛几何》而出版．
几乎与此同时，匈牙利军官波尔约(J．Bolyai)在1825年左右已建立起非欧几何思想，并于1832—1833年以《绝对空间的几何》一文作为其父沃夫冈·波尔约(WolfgangBolyai，1775—1856)《为好学青年的数学原理论著》的附录出版了．他的工作与罗巴切夫斯基的工作一起分别创立了非欧几何．
高斯、罗巴切夫斯基、波尔约都认识到欧氏平行公设不能在其他公设基础上证明，平行公设是欧氏几何中独立的和必不可少的，非欧几何就是采取一个与平行公设相矛盾的命题，并从与此组成的一组新公理中，重新建立一种几何．
罗巴切夫斯基放弃了平行公设，提出了“罗氏平行公设”：过定直线外一定点有无数条定直线的平行线，并按如下方式建立新几何：“设想从一点(C)作垂线α垂直于已知直线(AB)，并从该点向直线作平行线；记F(α)为α和平行线间的角”．在图13．3中，
过点C的所有直线关于直线AB可以分成两类，一类直线与AB相交，另一类不相交．直线p与q属于后一类，构成相交与不相交两类直线的边界．F(α)是AB的垂线α与过C的AB的平行线间的角，称为平行角．在罗巴切夫斯基几何中，过C与AB平行的直线有无穷条．这正与欧氏几何中“过定直线外一定点只有一条定直线的平行线”形成了鲜明对照．
角形的内角之和恒小于π，且随着三角形面积的增大而减小，当面积趋于零时，它就趋于π．
“假设三角形内角和小于π，就导致出圆随半径的增长不趋于直线，而趋于一特种曲线，我们称它为极限圆．球面在这种情况下也趋向于一曲面，类似地，我们称它为极限球面．”
对于图13．4中的球面三角形，他给出了公式
ctgF(α)=ctgF(c)sinA，
sinA＝cosB sinF(b)，
sinF(c)＝sinF(a)sinF(b)．
“一般说来，在直角三角形中，a，b为直角边，π-2ω为各角和，则有
因而三角形越小，它的各角之和同两直线的区别越小．”
根据对无穷小三角形的研究，罗巴切夫斯基还得出了曲线y＝f(x)在(x，y)处的弧微分公式
于是，半径为r的圆周长c=π(er－e-r)，圆面积A＝π(
随后，他还建立了非欧空间的解析几何和微分几何的原理．非欧几何的一种形式——罗巴切夫斯基几何已经建立起来，“无论如何，新的几何学，它的基础已在此被规定，如果不存在于自然界中，那也可以存在于我们的虚想之中，它无助于实际测量，但对几何学和分析学的互相利用，却开拓了一个新的、广阔的领域．”
非欧几何的诞生在数学史上具有十分重大的意义．它使人们认识到，平行公设不能在其它公设的基础上证明，它是独立的命题，因而可以采用一个与之矛盾的公理并进而发展成为全新的几何．
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