解放军文职招聘考试非欧几何的建立
非欧几何的建立
从欧几里得本人开始,欧氏几何第五公设(平行公设)就一直是数学家的一块心病,它完全不能满足人们的审美要求.这条公设冗长,一点也不直观,与具有简单性、简明性的美妙的欧氏几何太不相称了.于是,许多数学家力图由其他公理、公设中推出平行公设,但谁也没有成功.尽管如此,19世纪以前依然进行了一些有价值的工作,他们中有普罗克洛斯(Proclus,约公元412—485年)、沃利斯、萨凯里(G.Saccheri,1667—1733)、克莱罗、兰伯特、勒让德、普雷菲尔(J.Playfair,1748—1819)等等.
萨凯里的工作最值得重视,在1733年发表的论文中,他从一个四边形ABCD开始,其中A和B是直角,且AC=BD,(图13.2)易证∠C=∠D,欧氏几何平行公设相当于∠C,∠D是直角这个论断,于是他在下列两种情形中选择:
(1)钝角假设:∠C、∠D是钝角;
(2)锐角假设:∠C、∠D是锐角.
他首先证明第1种情形不可能.其次,他在考虑第二个假设时,没有得到任何矛盾,并且得到了许多有趣的定理,本来这种没有矛盾的系统完全可以宣称是一种新几何,但他缺乏理论勇气,以“结论不合情理”而否认了.胜利的果实滑到嘴边又溜走了.
数学王子高斯在18世纪就知道要证明平行公设是徒劳的,并且在15岁时已经掌握了能够存在一种逻辑几何的思想,其中欧氏平行公设不成立,他在思想上是非常解放的,丝毫不会为传统观念所左右,也不为科学泰斗所吓倒.从1813年他就开始发展新几何,起初他称反欧几何(anti-Euclidean Geometry),星空几何,最后称非欧(Non-Euclidean)几何,他认为非欧几何在逻辑上是相容,并且具有欧氏几何一样的可应用性.但他在行动上一向谨小慎微,怕受人奚落,不为人理解,不敢发表离经叛道的、但被他认为是正确的学说.
1826年2月12日,俄国学者罗巴切夫斯基在喀山大学数理系宣读了《论几何原理》一文①,宣告了非欧几何的创立.1835—1837年,他发表《具有平行的完全理论的几何新基础》,较好地表达了他的思想,他称他的新几何为“虚几何”.1840年用德文出版了《平行理论的几何研究》(GeometrischeUntersuchun-genZurTheoriederparalle-llinien),在双目失明后仍口授出一部关于他的几何的完全新的说明,于1855年以《泛几何》而出版.
几乎与此同时,匈牙利军官波尔约(J.Bolyai)在1825年左右已建立起非欧几何思想,并于1832—1833年以《绝对空间的几何》一文作为其父沃夫冈·波尔约(WolfgangBolyai,1775—1856)《为好学青年的数学原理论著》的附录出版了.他的工作与罗巴切夫斯基的工作一起分别创立了非欧几何.
高斯、罗巴切夫斯基、波尔约都认识到欧氏平行公设不能在其他公设基础上证明,平行公设是欧氏几何中独立的和必不可少的,非欧几何就是采取一个与平行公设相矛盾的命题,并从与此组成的一组新公理中,重新建立一种几何.
罗巴切夫斯基放弃了平行公设,提出了“罗氏平行公设”:过定直线外一定点有无数条定直线的平行线,并按如下方式建立新几何:“设想从一点(C)作垂线α垂直于已知直线(AB),并从该点向直线作平行线;记F(α)为α和平行线间的角”.在图13.3中,
过点C的所有直线关于直线AB可以分成两类,一类直线与AB相交,另一类不相交.直线p与q属于后一类,构成相交与不相交两类直线的边界.F(α)是AB的垂线α与过C的AB的平行线间的角,称为平行角.在罗巴切夫斯基几何中,过C与AB平行的直线有无穷条.这正与欧氏几何中“过定直线外一定点只有一条定直线的平行线”形成了鲜明对照.
角形的内角之和恒小于π,且随着三角形面积的增大而减小,当面积趋于零时,它就趋于π.
“假设三角形内角和小于π,就导致出圆随半径的增长不趋于直线,而趋于一特种曲线,我们称它为极限圆.球面在这种情况下也趋向于一曲面,类似地,我们称它为极限球面.”
对于图13.4中的球面三角形,他给出了公式
ctgF(α)=ctgF(c)sinA,
sinA=cosB sinF(b),
sinF(c)=sinF(a)sinF(b).
“一般说来,在直角三角形中,a,b为直角边,π-2ω为各角和,则有
因而三角形越小,它的各角之和同两直线的区别越小.”
根据对无穷小三角形的研究,罗巴切夫斯基还得出了曲线y=f(x)在(x,y)处的弧微分公式
于是,半径为r的圆周长c=π(er-e-r),圆面积A=π(
随后,他还建立了非欧空间的解析几何和微分几何的原理.非欧几何的一种形式——罗巴切夫斯基几何已经建立起来,“无论如何,新的几何学,它的基础已在此被规定,如果不存在于自然界中,那也可以存在于我们的虚想之中,它无助于实际测量,但对几何学和分析学的互相利用,却开拓了一个新的、广阔的领域.”
非欧几何的诞生在数学史上具有十分重大的意义.它使人们认识到,平行公设不能在其它公设的基础上证明,它是独立的命题,因而可以采用一个与之矛盾的公理并进而发展成为全新的几何.
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