微分几何
19世纪微分几何的主要成就是柯西、高斯和黎曼做出的．不仅如此，高斯还提出了一个全新的概念：一张曲面本身就是一个空间，这个概念随后为黎曼所推广．并且由此确立了罗巴切夫斯基几何的“合法”地位，从而在非欧几何中开辟了新的发展道路．
空间曲线理论在19世纪日趋完善．1826年，柯西在他的名著《无穷小计算在几何上的应用教程》(Applications du Cal-cul infinitésimal á la géemétrie)中，改进了一些新的概念并且澄清了空间曲线理论中
其中cosα，cosβ，cosγ是 直线的方向余弦，这在今天已成标准形式．他取弧长作自变量(s)，从而得到空间曲线任一点处切线的方向余弦
柯西把切线和主法线决定的平面作为密切平面，这个平面的法线是次法线，而次法线的方向余弦cosL，cosM，cosN由下列公式给出：
和挠率确定以后，曲线就几乎被完全决定了．弗朗内(F．J．Frénet，1816—1900)、塞雷(J．A．Serret，1819—1885)分别于1847年，1851年发现了上述柯西的切线、次法线的方向余弦的导数公式，同时还发现了法线的方向余弦的导数公式：
这三个公式就是空间曲线理论中著名的弗朗内—塞雷公式．用向量表示为：
称为曲线论的基本公式．
1828年，高斯发表《关于曲面的一般研究》(Disquisitio-ns Generales Circa Superficies Curvas)一文(完成于1827年)，对微分几何的进展起了决定性的作用，给出了今天教科书中曲面论的大多数结果．
高斯利用欧拉的参数u，v表示曲面的思想，将曲面方程写成x＝x(u，v)，y＝y(u，v)，z＝z(u，v)．他的出发点就是利用参数表示来进行曲面的系统研究．
E， F， G称为第一类基本量，在曲面上每一点都是常数．
接着，他又开始考虑另一个基本量——曲面上两条曲线之间的夹角θ．对于从(u，v)出发的曲线上的两条曲线，一个由du∶dv给定，一个由δu∶δv给定，高斯证明了两条曲线之间的夹角θ满足
L，M，N称为第二类基本量．
进行了这些准备工作后，高斯证明了曲面的全曲率公式K，并且证明他的K就是欧拉在18世纪提出的两个主曲率k1，k2的乘积，即K＝
变量．
引进这些基本量以后，高斯又考察了曲面的许多性质．他特别对曲
且两张曲面对应点的距离元素相等，即
E1du2+2F1dudv＋G1dv2=E2du2+2F2dudv＋G2dv2．
这个公式称为高斯特征方程．1860年，巴尔策尔(R．Baltzer，1818—1887)改写为
它揭示了第一、二类基本量之间的关系．有了这个关系式后，高斯于1826年得到了“高斯定理”：一个曲面的全曲率被曲面的第一类基本量完全确定，等距曲面在对应点一定有相同的全曲率．他称这个定理为“极妙的定理”．
迈因纳尔迪(G．Mainard，1800—1879)在1857年，科达齐(D．Codazzi，1824—1875)在1868年分别得到了方程(今天称之为迈因纳尔迪—科达齐方程)：
这两个方程与高斯特征方程一起构成曲面论的基本方程．
1867年，邦内(O．Bonnet，1819—1892)证明了：如果给定了u和v的六个函数E，F，G和L，M，N，它们满足曲面论的基本方程，则它们除了在空间的位置和定向外，唯一地确定了这张曲面．
1861年，魏恩加滕(J．Weingarten)发现了“魏恩加滕公式”：
这个公式与下列高斯公式一起构成了“曲面的基本公式”，它们在曲面论里的作用相当于弗朗内—塞雷公式在曲线论里的作用．高斯公式是
当F＝0时，曲面论的基本方程与曲面论的基本公式都可以大为简化．
在1827年的文章中，高斯还研究了另一个十分重要的课题——寻找曲面上的测地线．测地线这一名称是列维尔在1850年引进的，取自大地测量学．测地线在今天的微分几何教材中又称短程线．对于一个由测地线构成的三角形，高斯证明了一条关于曲率的著名定理．设k是一个曲
表明，在一个测地三角形上曲率的积分等于三个角之和超过π之盈量，或在三角形之和小于180°时，等于三个角之和不足π之亏量．
若Γ是曲面上的测地(短程)多边形，则一般地有
后来，邦内把高斯的结果推广，对曲面∑上的单连通域∑1和它的边界线Γ，得到了高斯—邦内公式：
其中kg为Γ的短程曲率，τ为由方向余弦到Γ的切线矢的有向角．
高斯在曲面保角变换方面也进行了十分有价值的工作，并由此而获得了丹麦皇家科学会的奖金．
高斯证明了曲面的几何可以集中在曲面本身进行研究，曲面本身就可以看成是一个空间，因为它的全部性质都被ds2＝Edu2+2Fdudv＋Gdv2确定了，这样就可以抛弃以往的观念：曲面是位于一个三维空间中．这样就意味着，如果把曲面本身看作是一个空间的话，至少在曲面上就有非欧几何；而且，由于一张曲面由E，F，G确定，于是曲面就有E，F，G所确定的几何，这个几何对于曲面是内蕴的，而与周围的空间毫无关系，因此随着E，F和G的不同的选取，同一张曲面可以有不同的几何．
这样，我们就可以轻而易举地在欧氏几何曲面上实现非欧几何了．如果把球面看成三维空间中的一张曲面，球面的几何就是欧氏的；但如果把球面本身当作一个空间来研究，取纬度和经度作为点的坐标，大圆弧就是“直线”(称为测地线或“短程线”)，这样的几何就是一种非欧几何．这样得到的空间是一个二维的正的常曲率空间，这样的几何在今天称为二重椭圆几何．这种非欧几何模型曲面的例子是黎曼在1854年给出的．
1868年，意大利数学家贝尔特拉米(E．Bèltrami，1835—1900)独立而成功地找到了非欧几何模型，在数学史上使罗巴切夫斯基等人开创的非欧几何得到了举世公认，在整个科学史乃至人类思想史上具有十分重大的意义．
贝尔特拉米是通过研究具有常数全曲率的曲面而作出这一重大发现的．从高斯起人们就知道，具有相同的常数全曲率k的曲面互相等距等价，因而有相同的内蕴性质．当常数k＝0时，曲面和平面等距等价；
识到k＝0时的几何实质上就是欧氏几何；k＞0时的几何，1854年黎曼发现是一种非欧几何——椭圆几何学．1868年，贝尔特拉米发现，如果令yz平面上的曳物线
绕z轴旋转，即得到伪球面
质上就是罗巴切夫斯基几何——双曲几何．这样具有负常数全曲率的曲面的内在几何与双曲几何的关系就被发现了．
19世纪微分几何的第三个里程碑是黎曼奠定的．他在几何领域中是高斯的忠实追随者和发扬光大者．1854年，高斯给黎曼指定以几何基础作为他取得大学教授资格应作的演说，当时能听懂他的报告的，只有已入暮年的高斯．他的1854年的演讲稿后来以《关于作为几何学基础的假说》(Ueber die Hypothesen，wel-che der Geometrie Zu Grunde liegen)于1868年出版了．这篇文章已经成了数学史上的经典著作．
黎曼几何的主要工作是把通常熟悉的三维空间推广到n维空间中的m维可微流形．对于同一张曲面可以有ds2=dx2＋dy2＋dz2，而ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2．随着E，F，G的不同可以有不同的几何，因此选取ds2的不同表达式，就可以得到完全不同的几何——一种非欧几何，这种思想本来是属于高斯的，在1854年的论文中，黎曼把这种研究曲面时的思想推广到任意n维空间，提出了这样的观念，对于n维空间点集中的每一个点用n个坐标(x1，x2，…，xn)表示，而空间一条曲线xi＝xi(t)，i＝1，2，…，n的弧长微分ds，就可以用一个恒正二次齐式表示出来：ds2=∑gijxixj．研究由黎曼所引进的这种空间的几何学在今天就称为黎曼空间几何学．高斯等人所研究的曲面的内在几何学中的主要内容都可以推广到几维黎曼空间，而曲面的内在几何学可以看作是二维的黎曼空间几何．如对于t＝α和t＝β之间的曲线可以给出长度l＝
这方面，黎曼给出了依赖于流形的性质而不依赖于所采用的特殊坐标系的程序．
黎曼几何的另一件重要的工作是改进、引进了许多新的记号．如黎
—1900)正式引入了各种形式的“克里斯托费尔记号”：
黎曼引进了现在通称的“黎曼四指标记号”
“克里斯托费尔四指标记号”则是克里斯托费尔仿照黎曼引进的：
引入这些记号后，从而开始了张量演算．
贝尔特拉米不仅详细研究了具有负常数全曲率的曲面，而且他还第一个对曲面论的不变量作了深入详细的研究，由此开创了19世纪人们对不变量的广泛研究．微分不变量理论以及黎曼等人引入的记号对张量分析起了积极的推动作用．张量分析由里奇(C．G．Ricci，1853—1925)和列维—齐维塔(T．Levi—civi-ta，1873—1941)在20世纪初，发展成一门独立的学科，1916年爱因斯坦(A．Einstein，1879—1955)给出了“张量分析”这个名称．
黎曼几何倍受物理学家青睐，尤其是爱因斯坦创立相对论大量应用了它，同时爱因斯坦也对此作出了贡献．翻开《爱因斯坦文集》，看到里面有那么多地方利用了黎曼几何，赞美了黎曼及其几何，我们就不难理解黎曼几何的重要性．黎曼几何还为现代微分几何奠定了基础．
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