解放军文职招聘考试爱尔兰根纲领

 爱尔兰根纲领

(Erlangen Programm)

　　19世纪初叶射影几何重新为人们重视后，不仅有数学家从“纯粹”综合的角度进行研究，而且随着研究的进一步深入，有不少数学家开始从代数甚至从群论的角皮进行探讨，这样几何学的研究就进入了一个新的时期．不仅射影几何有了进一步的发展，而且各种度量几何的内在关系也逐渐为人们揭示了．

　　

　　ücker，1801—1868)从代数方面发展了射影几何．他们的工作之一是引进了齐次坐标．普吕克还对几何观念给出了优美的代数表示，利用齐次坐标，他给出了无穷远线、圆上无穷远点等等许多概念的代数表示．他积极地利用射影的概念研究高次平面曲线和高次曲面，得到了许多重要的结果．

　　在斯陶特弄清楚了射影几何与欧氏几何的关系后，数学家们开始根据射影概念进行建立欧氏几何度量性质的工作．拉盖尔(E．Laguerre，

　　

 　

　　其中(uu′，ww′)是u，u′及两条虚直线w，w′四条直线的交比，i为虚单位．

　　凯莱引入二次型及双线性型

　　

F(x，x)＝0为一条二次曲线即凯莱绝对型．绝对型的线坐标方

 

子式．有了这些准备工作后，他定义两点x=(x1，x2，x3)及y＝(y1，y2，y3)间的距离δ，

　　

线坐标为u＝(u1，u2，u3)及v=(v1，v2，v3)的两直线的夹

 　

　　

 

行列式中aij的代数余子式．

　　这样，长度和角度这些度量的性质也可以用射影关系来决定了．因此当时人们就说：“度量几何也仅仅只是射影几何的一部分．”1859年，凯莱甚至说：“射影几何是所有的几何，反之亦然．”

　　不仅如此，19世纪中叶以后，几何学的种类如雨后春笋般不断涌现．面对这种形势，人们发现，利用图形在变换下的性质，可以发现从欧氏几何到射影几何之间的关系．客观形势向人们提出这样的问题：能否用协调一致的观点来统一已有的几何：欧氏几何，非欧几何，射影几何，仿射几何，等等．这件工作历史地落到了F．克莱因的肩上．

　　F．克莱因(Fleix Klein，1849—1925)是天才的德国数学家，在几何学方面他的工作是19世纪统一数学的重要方面．在几何学的具体工作方面，他第一个认识到无需用曲面也可以获得非欧几何模型；成功地证明了依赖于绝对形性质的凯莱度量将产生双曲几何与二重椭圆几何；提出了单重椭圆曲面模型，等等．他还引进了许多新的术语．他彻底弄清了射影几何的基本地位，这一工作为几何公理化铺平了道路．

　　F．克莱因在几何学方面的杰出贡献，是他在1872年向爱尔兰根大学哲学教授会和评议会所作的就职演说．他以自己的工作和李(Sophus Lie，1842—1899)在群论方面的工作为基础，对当时的几何学做了整理分类，并且提出了研究几何学的新的有效的途径．这个演说连同他所提出的几何学研究大纲，被人们称为“爱尔兰根大纲”．今天，“爱尔兰根大纲”系指：《关于现代几何学研究的比较考察——1872年在爱尔兰根大学评议会及哲学院开学典礼上提出的纲要》．

　　F．克莱因的基本观点是，每种几何都由变换群刻划．为此他给出了一个著名的定义——几何学，是当集合S的元素经过某种变换群G中所包含的变换时，集合S保持不变的那些性质的研究，记为(S，G)．每种几何要做的工作就是考虑在某个变换群中的不变量；一个几何的子几何是在原来变换群的子群下的一族不变量．这个纲领使得一些数学家认为，全部数学可以通过群论而统一．

　　按照F．克莱因的观点，几种主要几何间的关系是这样的：

 

　　爱尔兰根纲领包括十大部分：一、空间变换群，主群一般性问题的提出；二、一个包含另一个连接起来的变换群，几何学研究的各种类型及其相互关系；三、射影几何学；四、用基础流形的一个变换建立的相互关系；五、空间元素选择的任意性，海赛(Hesse)相关原理，线几何学；六、反演几何学关于x+iy的解释；七、前述内容的推广、李球几何学；八、建立在点变换群基础上的其它方法；九、全体切触变换群；十、关于任意维流形．

　　爱尔兰根纲领的思想统治几何学长达五十年之久，后来人们发现有些新的几何分支如代数几何和新发展的微分几何都不能纳入爱尔兰根分类方案．但这个纲领却对数学发展尤其是几何、群论的发展产生了深远影响，同时还对物理学尤其是狭义相对论产生了积极影响．