解放军文职招聘考试傅里叶级数

 傅里叶级数

　　傅里叶(J．Fourier，1768—1830)是法国著名的数学家、物理学家．他坚信“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉．”受物理问题的推动，1807年他向巴黎科学院呈交了一篇关于热传导的论文，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德的审查后而被拒绝了，为此他愤愤不平．1811年他再次呈交了经修改后的论文，终于获得了1812年的巴黎科学院的高额奖金．以获奖论文为基础，1822年，他终于发表了著名的数学经典文献《热的解析理论》(Théorie analytique delachaleur)．该书推导出了热传导方程、得出了在不同边界下的积分法，还提出了变量分离法．

　　这篇著作最主要的贡献是详细研究了傅里叶级数，使三角级数、无穷级数的研究进入了一个新的阶段．在讨论热传导问题时，他研究了均匀和各向同性的物体，把物质的温度T看作是空间和时间的函数，根据物理原理证明了T必须满足下述方程：

 

 

　　这个方程叫做三维空间的热传导方程，(x，y，z)是物体在空间的位置，t是时间，k是常数，其值依赖于物体的质料．以此为出发点，他建立了傅里叶级数．

　　他的工作过程可以简化如下．对两端保持温度0度，侧面绝热而无热流通过的柱轴，则三维热传导方程就变成了一维空间的热传导方程，再附以边界条件和初始条件，就得到偏微分方程：

　　

　　为解出这个方程，他运用变量分离法，令

　　

　　 

　　当t＝0时，有

　　

　　于是，傅里叶就不得不回答这样的问题：f(x)能表示成三角级数吗？b，能确定吗？

　　对此，傅里叶给出了肯定的回答．

　　傅里叶令l＝π，得到

　　

　　然后把每个正弦函数按马克劳林定理展开为幂级数，

　　

　　经过不严格的变换求和次序的运算，他得到：

　　

　　然后得到

　　

　　在这一过程中，有许多地方是不严密的，但傅里叶在当时却作了一些很有意义的考察．他注意到每一个bn可以解释为当0≤x≤π时，曲线y

义的，当然这种函数也不必是连续的，或者只要能够从图形上知道就可以了．

　　傅里叶得出这样的结论：每一个函数都可以表示为

　　

　　这一结论在18世纪曾有人提到，但却被丹尼尔·贝努利之外的几乎所有名家否定了．然而，前人的意见并没有能吓倒傅里叶，他选取了大量的函数，对每个函数计算前几个bn，并对每个函数作出其正弦级数头几项和的图形，他得出的结论是，不管在0＜x＜π外怎样，这个级数在0＜x＜π上总是表示f(x)．

　　那么为什么18世纪的数学家不能接受任意一个函数可展开为三角级数的结论呢？正如《热的解析理论》所指出的那样，他们没有认识到，两个函数可以在一给定的区间上相合，但不一定在此区间外相合．在这种情况下，级数真正给出的是0～π区间上的值，在区间外则周期地重复着．

　　

以应用于表达式

　　

　　他接着考虑任何f(x)在区间(－π，π)上的表达式．利用任何函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和这一事实，对于任何f(x)在区间(-π，π)上，可以表示为：

　　

　　这就是傅里叶级数，其系数an，bn由下式确定

　　

　　对于任意的函数可以展开成傅里叶级数这一结论，傅里叶从未给出过任何完全的证明．他所依赖的是几何证据，他说：“为了证实新结果的真实性，为了明白地给出分析学常用的表达形式，没有什么比几何图形对我们更适宜了．”同时，他也没有指出一个函数可以展开为三角级数应该满足的条件．

　　傅里叶的工作标志着人们从解析函数或可展开成泰勒级数的函数中解放了出来，使函数概念产生了新的突破．以前人们坚持函数必须是可用单个式子表示的，傅里叶级数却可以表示在区间(0，π)或(－π，π)的不同部分有不同解析式的函数．一个博里叶级数在一个整段区间上表示一个函数，而一个泰勒级数仅在函数是解析的点附近表示该函数．

　　傅里叶的工作揭示出，任意函数可以展开为如三角级数、贝塞尔函数、勒让德多项式这样一些函数的级数．

　　傅里叶级数极大地促进了偏微分方程的发展．被称为19世纪偏微分方程的第一步，泊松吸收了傅里叶的方法，解决了许多热传导问题，在这些过程中使用了按三角函数、勒让德多项式、拉普拉斯曲面调和函数的展开式．

　　在1822年的著作中，傅里叶还提出了今天的“傅里叶积分”：

　　

　　傅里叶级数、傅里叶积分等内容后来经过傅里叶本人、泊松等人的努力，发展成了一门内容十分丰富的分析分支——傅里叶分析．

　　傅里叶的工作表明，有相当广泛的一类函数可以用三角级数来表示．随后人们开始讨论傅里叶级数的收敛性、唯一性等问题．

　　狄利克雷于1829年发表《关于三角级数的收敛性》(SurlaConvergence des Séries trigonométriques)一文，给出了代表一个给定f(x)的傅里叶级数是收敛的并且收敛到f(x)的条件：

　　(a)f(x)是单值、有界的；

　　(b)f(x)是分段连续的，即在(闭的)周期内只有有限多个间断点；

　　(c)f(x)是分段单调的，即在一个周期内只有有限多个最大值和最小值．

　　黎曼在1854年首次提出了三角级数表示一个函数的唯一性问题．随后，许多人对此进行了深入的研究．

　　傅里叶级数的唯一性问题引起了康托尔的兴趣．康托尔是从寻找函数的三角级数表示的唯一性的判别准则开始研究工作的．1870年，他证明了，当f(x)用一个对一切x都收敛的三角级数表示时，就不存在同一形式的另一级数，它也对每个x收敛并且代表同一函数f(x)．1871年，康托尔证明了，即使在有限个x值上不收敛，上述结论依然成立．这是康托尔论述x的例外值集合(Setof exceptional valuse)系列论文中的第一篇．后来他又把使上述结论依然成立的不收敛的x值推广到无穷集的情形．为了区分哪些无穷集上x值不收敛时结论依然成立，康托尔开始了无穷点集合论的研究．

　　围绕着傅里叶级数，19世纪的数学取得了巨大进展．