解放军文职招聘考试调和分析

来源： 2017-11-22 20:15中

调和分析

　　傅里叶级数原来是处理直线(－∞，＋∞)上，周期为2π且在[0，2π]上可积的数值函数(最好令其为复数值)，这样的函数f的傅里叶级数是

由于einx=cosnx+isinnx，因此可用sin和cos来表达傅里叶级数．这种实的形式在几何上更直观，复指数形式在代数上更容易处理和推广．主要问题是函数f的傅里叶级数的“和”是否存在，是否“等于”f．最初“和”与“等于”自然地理解为逐点收敛的，后来自然的和更富成果的是几乎处处收敛与依范数收敛．人们早就知道，存在连续函数的傅里叶级数，它在某一点上，甚至在许多点上发散．如果考虑齐撒罗意义下的求和，则费耶尔(L.Fejer，1880—1959)定理(1904)指出：在这种意义下每一连续函数f的傅里叶级数逐点收敛于f．但可积函数情况就差得多，柯尔莫哥洛夫证明若只要求f∈L1[0，2π](即f在[0，2π]上可积)，则f的傅里叶级数可以几乎处处发散(1923)，或甚至于处处发散(1926)．

　　鲁金提出：如果f∈L2[0，2π]，则f的傅里叶级数是否几乎处处收敛于f呢？过了50年仍无法回答这问题，想证明答案是肯定的努力，遭到无数次失败以至50年代到60年代专家们几乎一致认为，鲁金问题的答案必定是否定的．令人感到惊异的是：答案却是肯定的．1966年，瑞典数学家卡尔松(L．Carleson，1928—)给出了第一个证明，他的成就的一个突出之点是他没有用到以前所不知道的技巧．次年洪特(R．A．Hunt)证明，对f∈Lp[0，2π]其中1＜p＜∞，则f的傅里叶级数几乎处处收敛于f．这样就漂亮而完整地结束了傅里叶级数论中最重要的一章．

　　函数f及其傅里叶级数的系数序列{an}之间关系，只当平方可积函数(∈L2)时才有极好的性质；即1907年由黎斯及费舍尔独立证明的黎斯—费舍尔定理，它指出任意L2中的函数都存在收敛于其自身的傅里叶级数，反过来对任意平方可和序列{an}，也都存在L2中的函数f，使{an}为其傅里叶级数的系数序列，同时有帕塞瓦尔(M．A．Parseval，1755—1836)定理成立：

　　这当然是最理想的情形．但是，对于任Lp，1≤p≤≥∞，情形要复杂

级数．1930年起，李特尔伍德及佩利(R．E．Paley，1907—1933)创立李特尔伍德—佩利理论，特别是把f分解为“二进”块之和：△0+△1＋…+△k＋…△k=∑aneinx．用这个分解来代替傅里级数可得Lp空间的结果．相应于Lp空间，对于单位圆上的全纯函数，哈代及黎斯建立了哈代空间Hp理论．对于1＜p＜∞，可证Lp与Hp同构，有趣的情形只是H′及H∞．

　　以傅里叶级数理论为模式，可以在许多方向上进行推广．首先是从周期函数推广到全实线(-∞，∞)上的任意函数，这样就产生傅里叶积分理论．对于在(－∞，∞)上的勒贝格可积函数f，可定义其傅里叶积分或傅里叶变换式

傅里叶积分理论大致与傅里叶级数理论平行，也有许多差别，例如对周

的函数．与傅里叶级数情形类似，L2的情形最理想，对此普兰舍瑞尔(M．Plancherel，1885－1967)在1901年到1915年进行研究，特别是1910年证明了普兰舍瑞尔定理：傅里叶变换F及其逆变换F－1是L2空间到自身的等距变换．这定理是后来许多推广的出发点．由此推出帕舍瓦尔定理成立：

　　其中‖‖2表示L2中的范数，对于Lp空间，1≤p≤2，相应的等式只有不等式

年得出的．由此出发，发展出一套算子内插理论．

　　第二次世界大战前后，傅里叶分析向多维化及抽象化方向发展，多维傅里叶分析正如多复变函数论一样，与一维情形相距甚远，最早是波赫纳的工作， 50年代起卡尔德隆(A.P.Calde－ron，1920—)与齐格蒙所创立的奇异积分理论起着最重要的作用．其后，斯坦因(E．M．Stein，1931—)和外斯(G．Weiss，1928—)把Hp空间理论推广到高维，而且还在一维问题也有突破．1971年巴克荷路德(D．Burkholder 1927—)等人用概率论的方法刻划H′中函数的实部，次年费弗曼(C．Fefferman，1949—)及斯坦因把它推广到n维．同时，费弗曼证明，H′空间的对偶空间是BMO，这里BMO是1960年由约翰(F．John，1910—)及尼仑伯格(L．Nirenberg，1925—)引进的有界平均振动函数空间，这个结果也被立即推广到n维．

　　由于周期函数可以看成是定义在圆圈群T上的函数，R本身对加法也是交换群，调和分析最大的推广是推广到一般的群上．这在五十年代产生出抽象凋和分析的理论．对于局部紧交换群，有一套漂亮的理论，例如用代数方法证明1932年维纳的强有力的广义陶伯尔型定理，而对于局部紧李群，则与艰深的群表示论方法结合，形成非交换调和分析的庞大分支．

三、微分方程

　　常微分方程的研究随着微积分的诞生就已开始．从天文学、力学、物理学及几何学的问题引进各种常微分方程．18世纪到19世纪数学家用各自方法进行求解，除了明显形式解之外，主要是通过幂级数及积分把解表示出来．19世纪初，通过数学物理方程经过变量分离法，导出许多特殊的常微分方程，如贝塞尔方程、勒让德方程等，对它们解的研究构成了特殊函数的重要分支．一般常微分方程求解问题，首先是拉格朗日发展的．在19世纪中叶，由于黎曼及富克斯(L．Fuchs，1833—1902)的工作形成了系统的解析理论．但直到19世纪最后20年，常微分方程理论才形成自己的理论基础．

　　首先是常微分方程的代数理论．受到代数方程的伽罗瓦理论的启发，皮卡在1883年把群论引进线性常微分方程，其后法国数学家德拉什(J．Drach，1871—1941)和维索(E．Vessiot，1865—1952)继续这方面的工作．伴随着抽象代数学的发展，这理论溶入微分代数学的框架之中，到五十年代又纳入代数群理论当中．

　　现代微分方程论的基础是解的存在性、唯一性以及连续性等等，因为大部分微分方程的实际背景是来自自然界的描述，而其解则反映自然界的客观运动规律，因此解的存在性、唯一性有着重大的现实意义．关于常微分方程解的存在性的考虑，首先来自柯西，他的一系列论文奠定了各种存在性证明的基础．第一种方法来源于欧拉折线法(1768)，柯西在1820年建立，李普希兹(R．Lipschitz，1832—1903)于1869年作了改进，皮亚诺在1890年得到存在性定理，配隆在1915年又加以改进，他在1925年还得出初值问题的充分必要条件．对于解析系数的方程，柯西在1840年用所谓极限演算即优函数法证明解的存在性．第四种方法来自拉格朗日的常数变易法，后来庞加莱推广成小参数法．

　　常微分方程论主要困难还在于非线性问题．1881年到1886年，庞加莱发表一组四篇题为“由微分方程所确定的积分曲线”的论文，开辟了微分方程定性理论的新方向．他一反过去具体局部求解的做法，而着重研究大范围内解的曲线形态，他发现，微分方程的奇点起着关键的作用．于是，他把奇点进行分类，然后研究解在奇点附近的性态，这样可以定性地确定解是否稳定．

　　俄国数学家李雅普诺夫(А．М．Ляпунов，1857—1918)从1892年起从另一角度研究稳定性问题，他的方法是定量的．他证明，在奇点附近解的稳定性依赖于特征方程的根，如果根都具有负实部，则方程所有解才是稳定的．

　　1901年瑞典数学家本迪克逊(I．Bendixson，1861—1935)提供了判断某区域内存在闭轨道的准则，并证明庞加莱——本迪克逊定理，这个定理给方程存在周期解一个肯定的判据．

　　微分方程在假定解的存在性及连续性前提之下，应用相空间的拓扑结构及向量场的解析结构可以得到解的行为的定性信息(如稳定性、周期性、回归性等等)．如庞加莱提出猜想：狭义三体问题存在无穷多周期解．他没能够证明它，只是在他临终前几个月，把这个问题归结为一个拓扑定理，所谓“庞加莱最后的问题”：由两个同心圆构成的圆环保持面积不变，且在两同心圆上方向相反的一对一连续映射，一定在圆环内至少有两个不动点．没有料到，庞加莱去世还不到半年，美国数学家柏克霍夫(G．D．Birk－hof，1884—1944)就证明了这个定理，使欧洲数学界大为震惊．柏克霍夫受庞加莱的强烈的影响，在1912年到1931年二十年间，应用拓扑技术，研究动力系统许多问题，特别是极限集、回归性、极小集的结构等．他的工作总结在1927年出版的《动力系统》(Dynamical Systems)一书中．30年代，苏联数学家开始研究动力系统，他们得到一些基本概念，特别是流及结构稳定性等．另外，他们在李雅普诺夫稳定性理论中也有许多贡献，特别是许多新工具、新方法在定性理论上有种种应用，其中包括：不动点理论、拓扑度理论、半群理论、同调理论、代数几何方法等等．

　　动力系统另一重要问题也来自天体力学，这就是周期系数的常微分方程的同期解的存在问题．经过厄米特(1877)、皮卡(1881)的研究，希尔(G．Hill，1838—1914)的工作及庞加莱关于渐近解的观念之后，富洛凯(G．Floquet，1847—1920)在1883年给出一个完整线性方程的理论．到20世纪，周期系数推广到概周期函数上面．1924年到1926年丹麦数学家玻尔(H．Bohr，1887—1951，著名物理学家玻尔的弟弟)开创了这方面的理论，其后博赫纳(S．Bochner，1899—1982)及冯·诺伊曼作出重大贡献．1933年法瓦(J.Favard，1902—1965)出版这方面的第一部书，书中给出一阶线性概周期系数方程具有概周期解的充分条件，后来还推广到非线性方程上面．

　　偏微分方程的出现要比常微分方程晚半个世纪，最早是达朗贝尔(1744)及欧拉研究流体力学开始的．18世纪末，从位势理论中产生拉普拉斯方程．对它的研究一直贯彻到19世纪末，研究热传导方程使傅里叶得到傅里叶级数．波动方程的求解导致黎曼、克里斯托费尔关于间断解的研究．这些二阶线性方程虽在1889年由德国数学家杜布瓦累芒加以分类，分别称为椭圆型、抛物型及双曲型方程，但是一般理论并不成熟．当时只有柯西及柯瓦列夫斯卡雅的存在定理．而一般理论到本世纪初才由阿达马开始探讨．他1903年声称偏微分方程的“适定”问题，不仅要求解存在及唯一，而且要连续地依赖于给定的初始条件或边界条件，否则就不是有物理意义的解．

　　这种连续性的要求，不仅是泛函分析的源泉，也是应用泛函分析的领域．如现在偏微分方程最常用的方法是先验估计，首先证明对条件的连续性，然后应用泛函定理(巴拿赫定理及黎斯定理)证明存在性和唯一性．反过来，巴拿赫的闭图象定理又可以在多种情形下，由存在性及唯一性证明连续依赖性．另外，阿达马对于二阶正规型双曲型方程引进基本解(法文称初等解)的概念．1930年勒瑞、肖德尔的不动点定理，索保列夫(С．Л．Соболев 1908—)在1936年引进广义解的概念，尤其是施瓦兹的整个广义函数论，给偏微分方程提供了系统的函数空间工具．

　　第二次世界大战以后，偏微分方程理论取得巨大的发展：1954年左右马尔格朗日(Malgrange，1928—)等人证明对于常系数线性偏微分方程都存在基本解．1956年刘威举出著名的反例，对于先滑系数线性方程可能没有解存在．1958年卡尔德隆证明光滑系数偏微分点子的柯西问题的唯一性条件．1970年，尼仑伯格等人分别得出这类方程有解的充分条件和必要条件．1973年，费弗曼等人得出充分必要条件．在这个过程中，1956年许多人同时引进一大类伪微分算子，1968年又被推广为傅里叶积分算子．这一大类算子不仅包含以前所知的微分算子，而且也包括奇异积分算子．它们的集合构成算子代数，具有很好的不变性质．