解放军文职招聘考试李群与李代数

 李群与李代数

　　丢东涅说过“李群成为数学的中心，没有它什么大事也干不成”，这句话虽说有点夸大，但的确反映出李群同几乎所有纯粹数学部门——拓扑学、微分几何学、代数学、数论、多复变函数论、微分方程论、调合分析等领域不可分的密切关系，而且对物理、化学也是必不可少的工具，就连经济学也有李群的用武之地．

　　1．李群的刻划和结构．

　　李群是挪威数学家李(S．Lie，1842—1899)的创造．他的思想来源有三方面：一是几何学，他和克莱因曾经共同合作研究几何学，他们把几何学对象由具体的几何图形转换到变换群上，这明确在克莱因的埃尔兰根的纲领中得到表述．1872年他们似乎有一种默契对他们各自的研究领域有一个分工：克莱因研究离散变换群，而李则研究连续变换群．二是微分方程论．李的老师西洛把伽罗瓦理论引进挪威，对李有深刻的影响，既然有限置换群是研究代数方程可解性的工具，李引进“有限连续群”(即后来的李群)就是为了研究微分方程的可解性的．换句话说，也就是发展微分方程的伽罗瓦理论．三是力学，李在1870年引进“切触变换”的概念，对他来讲，重要的一步是把两函数的波松括号解释为两个无穷小变换的切触变换的括号，这个括号引导他研究李群的局部结构(也就是李代数)的性质．

　　李产生“有限连续群”的概念是在1873年，在1874年到1879年发表的头一批论文中他只用群的封闭性，并且还有许多不确切的地方．在1880年他发表的《变换群论》(Theorie der Tr- ansformations gruppen)才假设群的元素的逆元素存在，并修正以前的一些错误．李自己关于有限连续群较好的论述是他同他的学生德国数学家恩格尔(F．Engel，1861—1941)合著三卷《变换群论》(1888—1893)中表述的，其中他首先定义某一区域D上的变换：

x′i=fi(x1，…，xn)(i＝1，…，n)

　　其中fi均是解析函数，如果函数行列式不等于零，则局部(在D中某点适当邻域)的这个变换有逆元素．其次，他考虑依赖于r个参数a1，…，ar的变换：

x′i=fi(x1，…，xn；a1，…an)．

　　这样得到一组变换．如果两个变换的乘积也在这组之中，那么这组变换就称为有限连续群．不过，他们也注意到这时必须假定幺元素及逆过元素存在，否则可能构不成群．不过李和他的合作者实际上考虑的是无穷小变换和由无穷小变换构成的“李代数”，并证明了三大基本定理．实际上，李代数是r，维线性空间，具有乘积[A，B]，它满足[B，A]=-[A，B]，[A，[B，C]]＋[B，[C，A]＋[C，[A，B]]＝0．第二个等式即雅可比恒等式．由此可见，它是非交换、非结合的线性代数．李还证明：局部同构的李群定义同一李代数．他们以为反过来也对，实际上这是错误的．这样他们把研究李群问题归结为李代数的研究．

　　从1883年起，李等人开始研究李代数的结构，而且得出四个类型局部单李群，即射影线性群，射影正交群及射影辛群，这就是后来的典型李群(李代数)的来源．1888年到1890年，德国数学家基林(W．Killing，1847—1923)更找出例外的单李群．1894年法国大数学家嘉当在他的博士论文中弥补了基林等人的漏洞，证明半单李群为单李群的乘积，证明单李群即是基林发现的五种例外群以及李的四类典型群．实际上完成了复数域上单李代数的结构及分类的研究．1914年，他研究实数域上单李代数的结构．大约同时，他在单李代数结构理论的基础上引进了“权”的概念，决定了复单李代数的所有不可约表示．

　　到1925年左右，对于原来的李群的整体(大范围性质)了解很少，由于外尔的几篇论文(1925—1927)才真正开始李群论的研究．外尔把E．嘉当的无穷小方法和弗洛宾尼乌斯和I·舒尔(I．Schur，1875—1941)的有限群的特征标理论结合起来，把胡尔维茨(A．Hurwitz，1859—1919)的积分技巧搬到紧群上．他证明半单李群的表示是完全可约的．稍后又得出紧群的表示理论并为它在物理学上的应用开辟道路．E·嘉当(1927—1930)在外尔工作的启示下建立起半单李群和对称空间的漂亮理论，并开始通过不变微分形式来研究对称空间的实上同调，后来导致德·拉姆(G．W．de Rham，1903—1990)定理的产生(1931)．对李群及对称空间的拓扑学研究还导致李代数上同调、纤维丛及示性类的丰硕成果，使拓扑学及微分几何学呈现崭新的局面．

　　这样，李群理论由分析及微分方程开始，转变成代数的理论(李代数)，又由局部转变成大范围理论，最后到三十年代与拓扑学及微分几何学连系在一起，在各方面发挥重要的影响．

　　2．李群概念的演化及推广

　　虽然李把他的“群”称为有限连续群，实际上，它既不有限且元素数目有限必定离散即不连续．他用函数定义变换是解析的，至少也要可微的．所以希尔伯特在他的巴黎数学家大会上提出的23个问题中，第5个问题就问是否能把解析及可微的条件简化为“连续”．其后由于抽象代数学及拓扑学的发展，促使人们对李群概念进行分析，李群一身兼三任：既是解析流形，又是拓扑空间，还是群．兼备拓扑空间和群两方面的结合是拓扑群．

　　 一般的拓扑群概念是施莱尔(O．Schreier，1901—1929)在1927年首先提出的，他给出一组一般的公理：一方面有群的公理，一方面是拓扑空间(一般是豪斯道夫空间)，群与拓扑的关系是群的运算在该拓扑之下是连续的．如果加上群的每元素局部与欧氏空间开集同胚，则称为局部欧氏群．但李群一般不一定紧，最接近李群的是局部紧拓扑群．1933年匈牙利数学家哈尔(A．Haar，1885—1933)在局部紧拓扑群上给出不变测度，后称哈尔测度，藉助于它冯·诺伊曼证明局部欧氏紧群是李群．但对一般局部紧欧氏群一直到1951年才由三位美国数学家格里森(A．Gleason，1921—)、蒙哥马利(D．Montgomery，1909—)和齐平(L．Zippin，1905—)完全解决．当时关于拓扑群及李群的一些结果总结在邦特里亚金(Л．C．ПCHTРЯГЦН， 1908—1988)的《连续群》(1938)一书中，而对李群的现代刻划则见于薛华荔的《李群论》第一卷(1946)中．