解放军文职招聘考试代数拓扑学及微分拓扑学
代数拓扑学及微分拓扑学
1939年底波兰数学家爱伦堡(S.Eilenberg,1913—)到达美国,开始了他同麦克莱因(S.Maclane, 1909—)及斯廷洛德(N.Steenrod,1910—1971)的合作,为代数拓扑学奠定了基础.特别是他1944年定义了奇异(上)同调群并和斯廷洛德在1945年把同调论公理化,结束了战前那种多种同调论并存的局面.1939年英国数学家怀特海(J.H.C.Whitehead,1904—1960)引进了CW复形并对同伦等价条件进行代数刻划,使代数拓扑学有了相当合理的对象.1947年斯廷洛德发展了障碍理论,定义了第一个同调运算Sq,成为代数拓扑学的重要工具.
但是战后代数拓扑学的大发展得力于法国学派的兴起.特别是1948年H·嘉当(H.Cartan,1904—)讨论班,对代数拓扑学产生重大突破.早在三十年代末,产生纤维丛的概念,这时扩展成纤维空间的概念,成为拓扑不变量的有力工具.1951年塞尔(J.P.Serre,1926—)引入1945年勒瑞发明的谱序列方法首先对球面同伦群的计算得出一系列成果.1952年道姆(R.Thom,1923—)得出道姆基本定理,直接导向配边理论的发展.1956年美国数学家鲍特(R.Bott,1923—)对于李群的稳定同伦群得出周期性定理,这一结果是K理论的重要组成部分.1970年外斯特(J. West)及钱普曼(T.Chapman, 1940—)证明任何CW复形的同胚都是单同伦等价.
由于代数拓扑学工具的发展,促进了微分拓扑学的大跃进.微分拓扑学主要研究流形的拓扑学,随着流形上拓扑结构、分段线性(组合)结构及微分结构的不同,流形分成三大范畴TOP,PL,DIFF.早在30年代,美国数学家凯恩斯(S.Cairns,1904—1982)等就证明,凡是微分流形都可以加以剖分产生与其微分结构相协调的组合结构.但是组合流形反过来并不一定有相应的微分结构,这首先由瑞士数学家克外尔(M. Kervaire,1927—)在1959年举出反例.更令人震惊的是美国数学家米尔诺(J.Milnor,1931—)在1956年证明七维球面上有多种不同的微分结构.其后他们还定出球面上到底有多少种不同的微分结构.1960年美国数学家斯梅尔(S.Smale,1930—)证明了广义庞加莱猜想,即五维及五维以上的同伦球面(具有与球面相同的同伦群)都与球面同胚.对于拓扑流形何时存在PL结构,以及其PL结构是否唯一的问题(去猜想),为美国数学家克拜(R.Kirby,1938—)及基奔曼(L.Siebenmann,1939—)在1969年完全解决,他们得出了不存在的“障碍”.他们的方法用到无限维的分类空间.
七十年代最困难的三维拓扑学开始取得突破,虽然原来的庞加菜猜想还没有得到证明,但美国数学家色斯顿(W.Thurs-ton,1946—)证明,除了三维球面情形之外,其他三维流形可以得到完全的分类.更令人惊异的是,最为困难的是四维流形情形,1981年美国数学家弗里德曼(M.H.Freedman,1951—)证明拓扑的庞加莱猜想,而且利用英国数学家唐纳森(S.Donaldson,1957—)的结果,可以证明,四维球面上有无穷多种微分结构.低维流形最有兴趣的扭结问题长期以来没有取得新突破: 1984年琼斯(V.Jones, 1953—)得到新的多项式, 1988年高尔登(C.M.Gordon)等证明了蒂茨猜想(1908).
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