解放军文职招聘考试微分流形的几何学

 微分流形的几何学

　　微分流形的微分结构可以通过切丛给予一定的刻划．一般丛的理论在40年代初由施蒂费尔(E．Stiefel，1909—)惠特尼定义了施蒂费尔—惠特尼示性类，吴文俊(1919—)1949年证明其拓扑不变性．邦特里亚金引进邦特里亚金示性类．1957年托姆证明有理系数的邦特里亚金示性类是组合不变量．1965年诺维科夫证明其拓扑不变性．关于微分流形的粗分类，托姆在1952年提出“配边”理论，配边理论是微分流形理论的重大成就，藉助它德国数学家赫采布鲁赫(F．Hirzebruch， 1927—)证明高维代数簇的黎曼—洛赫定理，米尔诺证明七维球面上存在不同的微分结构．这个理论为米尔诺等人推广到一般配边理论，如复配边理论，它同K理论一样是一种广义同调理论，即满足同调论七条公理中的前六个，因此给拓扑学引进了新的工具．K理论的产生使一些经典问题得到解决，特别是球面上独立向量场的数目．

　　微分流形上的向量场．在微分流形M上，使r阶可微(Cr，(r≥1))类向量场x为零的临界点在研究向量场的积分曲线中起着重要的作用，这些临界点就是向量场的奇点．庞加莱第一个发现曲面上向量场的临界点与曲面的拓扑不变量之间的关系，而这个关系的一般形式是由浩普夫给出的．假设M是紧的，且x的临界点只有有限多个，那么对于每个临界点可以内在地对应一个整数，称为该点的指数，则所有指数之和(称为x的指数)等于M的欧拉——庞加莱示性数．如果x1，…xk是M上k个向量场，这个向量场组的奇点就是这样的点x∈M，在其上向量x1(x)，…xk(x)是线性相关的；指数的概念也能推广到这样的向量场组上，当k＝2时，也有它与M的同调之间关系的结果．一个曾进行许多研究的问题是：决定最大的整数k，使存在k个向量场x1，…，xk不具有奇点．如k＝n=dim(M)，流形M就称为可平行的．对于球面Sn的情形，这问题由亚当斯(J．F．Adams，1930—1988)在

 ≥0的整数，且c≤3；则藉助于基于K理论的广义上同调可以证明，k等于2c＋8d-1．特别可平行的球面只有S1，S3，S7．

　　嘉当的一段联络理论被法国数学家埃雷斯曼(C．Ehres-mann，1905—1979)等人发展成为一般的纤维丛观念．纤维丛是一种以空间为基，基上每点又长出另一空间为其纤维，所有这些纤维合在一起成为纤维丛．利用纤维丛的观念可以自然地定义外微分形式及外微分．嘉当的联络概念使得我们能够比较在两个无穷近点的两个切空间的向量，同时可以定义一个向量场关于另一向量场的导数，这正好是协变导数的推广．嘉当这一套概念和方法不仅对于微分几何产生深远的影响，而且对微分拓扑乃至物理学中的规范场理论都提供了重要工具．而陈省身(1911—)则是现代微分几何学奠基人．