解放军文职招聘考试数学应考必备

 数学应考必备
第五章   向量代数与空间解析几何

§5.1 向量代数
(甲)内容要点
一、空间直角坐标系
二、向量概念
＝++
坐标
模＝
方向角
方向余弦
＝ ； ＝ ； ＝
三、向量运算
设； ；
1．加（减）法  ＝
2．数乘    
3．数量积（点乘）（ⅰ）定义·=
（ⅱ）坐标公式·=++
（ⅲ）重要应用·=0
4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义＝
与和皆垂直，且，，构成右手系
（ⅱ）坐标公式=
（ⅲ）重要应用=，共线
5、混合积  （ⅰ）定义 （，，）＝（）·
（ⅱ）坐标公式（，，）=
（ⅲ）表示以，，为棱的平行六面体的体积
（乙）典型例题
例1、点P到过A，B的直线之间的距离
      d＝
例2、点P到A,B,C所在平面的距离
d＝
因为四面体PABC的体积V＝
而＝
又V＝
例3、过点A，B与过点C，D的异面直线之间的距离
d＝
因为
d＝

§5.2   平面与直线

（甲）内容要点
一、 空间解析几何
1 空间解析几何研究的基本问题。
（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，
（2）已知坐标x，y和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。
2 距离公式 空间两点与间的距离d为

3 定比分点公式是AB的分点：,点A,B的坐标为，，则
              ，，
当M为中点时，
                ，，
二、平面及其方程。
1  法（线）向量，法（线）方向数。
  与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。
2  点法式方程  已知平面过点，其法向量＝{A,B,C},则平面的方程为

或                
其中              
3  一般式方程
                  
其中A, B, C不全为零. x, y, z前的系数表示的法线方向数，＝{A,B,C}是的法向量
特别情形：
       ，表示通过原点的平面。
       ，平行于z轴的平面。
       ，平行平面的平面。
        x＝0表示平面。
4  三点式方程  设,,三点不在一条直线上。则通过A,B,C的平面方程为

5  平面束   设直线L的一般式方程为，则通过L的所有平面方程为 +，其中
6  有关平面的问题
两平面为              
                       ：
                          ：
与间夹角 
垂直条件 
平行条件 
重合条件 

7  设平面的方程为，而点为平面外的一点，则M到平面的距离d：
                  

三 直线及其方程
1 方向向量、方向数
  与直线平行的非零向量，称为直线L的方向向量。方向向量的坐标称为方向数。
2 直线的标准方程（对称式方程）。

其中为直线上的点，为直线的方向数。
3 参数式方程：
                   
4 两点式
设,为不同的两点，则通过A和B的直线方程为

5 一般式方程（作为两平面的交线）：

6 有关直线的问题
  两直线为

:
:

 
垂直条件 
平行条件 

四、平面与直线相互关系
平面的方程为：
                    
直线L 的方程为：
                    
L与间夹角 
L 与垂直条件 
L 与平行条件 
 L 与重合条件 
L 上有一点在上

（乙）典型例题
例1．求通过和直线 的平面方程。
解  通过的所有平面的方程为

其中为任意实数，且不同时为0。
今把代上上面形式的方程得

            
由于方程允许乘或除一个不为0的常数，故取,得，代入方程得

即  4x－y－z－3＝0
它就是既通过点 又通过直线的平面方程。
例2 求过直线 且切于球面的平面
解 过所给直线除平面 外的其它所有平面方程为

即         
球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径
于是
得            
代入得两个所求的平面

§5.3  曲面与空间曲线

（甲）内容要点
一、曲面方程
1、一般方程       
2、参数方程              
二、空间曲线方程
1、一般方程       
2、参数方程              
三、常见的曲面方程
1、球面方程
设是球心，R是半径，P（x，y，z）是球面上任意一点，则,即。
2. 旋转曲面的方程
（ⅰ）设L是平面上一条曲线，其方程是  L绕z轴旋转得到旋转曲面，设P（x，y，z）是旋转面上任一点，由点 旋转而来（点是圆心）.
由 得旋转面方程是
     
（ⅱ）求空间曲线   绕z轴一周得旋转曲面的方程
      第一步：从上面联立方程解出
      第二步：旋转曲面方程为
      绕y轴一周或绕x轴一周的旋转曲面方程类似地处理
3、二次曲面
曲面名称 方     程 曲面名称 方     程
椭球面  旋转抛物面 
椭圆抛物面  双曲抛物面 
单叶双曲面  双叶双曲面 
二次锥面  椭圆柱面 
双曲柱面  抛物柱面 

四、空间曲线在坐标平面上的投影
曲线C的方程 
曲线C在平面上的投影
先从曲线C的方程中消去Z得到，它表示曲线C为准线，母线平行于Z轴的柱面方程，那么
就是C在平面上的投影曲线方程
曲线C在平面上投影或在平面上投影类似地处理
（乙）典型例题
例1、求以点A（0，0，1）为顶点，以椭圆为准线的锥面方程。
解 过椭圆上任一点P的母线方程为
   因为点在椭圆上，所以。而t＝，将其代入椭圆方程，得锥面的方程为。
例2、求旋转抛物面与平面=1的交线在平面上投影方程
解  从曲线方程 中消去z ，得曲线向平面得投影柱面方程。于是曲线在平面商得投影曲线的方程为
例3、求直线  L： 在三个坐标面上的投影；
解   在三个坐标面上的投影分别为
 在平面上：  在平面  在平面上
例4、求直线L：在平面上的投影直线的方程，并求绕y 轴一周所成曲面的方程。
解：过L 作垂直于的平面 的法向量

故的方程为
投影直线的方程为
从（1）+（2）得 2x－4y＝0
从（1）－（2）得 2y+4z－2＝0
这样得到的另一个方程为
于是绕y轴一周所得曲面方程为

即