解放军文职招聘考试第五讲 样本及抽样分布

                   第五讲   样本及抽样分布
    一  基本概念
总体 含义1：研究对象的全体，例如一批灯泡。
     含义2：研究对象的某数量指标（例如灯泡的寿命，随机变量）X的取值全体，总体的分布是指随机变量X的分布。
个体 组成总体的某个基本单元，例如一个个的灯泡，也指基本单元的数量指标。
样本 从总体中抽取的n个个体，n又称样本容量。
简单随机样本 样本中的n个个体相互独立，且与总体同分布的样本，简称样本。样本的实验结果称为样本观测值。
样本空间 样本的所能可能结果。
统计量 样本的不含任何参数的函数。
    二  重要统计量
样本均值  （而称为样本均值的观测值）
样本方差
注：
      
          

          三、抽样分布
统计量的分布：大多数情况下，针对正态分布样本而言，以下不说明均指正态分布。
    1、分布： 如果r.v X的密度函数为
        
则称X服从参数为n的分布，记作又称自由度，指独立变量的个数。如果，则。
定理5.1　如果，则
与独立。
例5.1 (993)  天平上重复称量重量为a的物品，每次称量结果独立同服从正态分布N()，若以表示n次称量的算术平均，则为使   
n的最小值应不小于自然数   16    。
    解：因为，故
，
。
例5.2 已知且
 
求a，b。
解：
 
同理
  
    例5.3 (983) 是N (0,)的样本，
           
则a=，b= 时分布，自由度为2

       
       
       
例5.4设总体Ｘ服从正态分布，从该总体中抽取简单随机样本
，其样本均值为，
求统计量的数学期望Ｅ(Ｙ)。
解：，故

 
 
２、t－分布　如果与相互独立，则称
服从自由度（参数）为n的t－分布，记作t (n)。
定理5.２　如果则
  证明:
由t－分布的定义知
例5.5 (97.4）已知则统计量
服从分布，参数为９。
解：因为　

由t－分布的定义知
例5.6 (944) 设，
，

（Ａ）　　　　　（Ｂ）
（Ｃ）　　　　　　（Ｄ）
则服从t (n－1)的随机变量是（Ｂ）。
注：（Ｃ）、（Ｄ）的分布自由度为n ，题中条件自由度为n－1，而（Ａ）不符合定理２结论。
例5.7（993）是正态总体样本，

       
证明Z ~ t (2 )
证：设，则，
且三者相互独立，与Ｓ２独立。

练习：１）设已知，则统计量
服从 (t) 分布，参数为 n 。
２）设，，
，，求a = 。
３、Ｆ－分布　设与相互独立，则
称为服从第一自由度为n第二自由度为m的Ｆ－分布。
定理5.3　设与
相互独立，则
例5.8 (013)  则统计量
～
分位数：（连续型）设有r.v ，对于满足的称为r.v 的上侧a
分位数，显然对于标准正态分布的上侧a分位数而言，。类似地可
以定义的下侧a分位数，即若则称为r.v 的下侧a分位数。
显然和间满足，并且对于正态分布和t分布，由于它们是对称的，
故。因此列分位数表时，一般正态分布和t分布（用表示t分布的上
侧a分位数）只给出上侧a分位数表；而对于F－分布，由于有关系式
，也只须给出上侧a分位数表：但对于分布，没有这些性质，必须同时给出与。
注：实际计算时，可令，相应的自由度记为，这时
可避免查下侧分位数。
可加性：二项分布、泊松分布、正态分布和分布具有可加性。
   
   第六讲　　参数估计
一、矩估计
若统计量Ｔ作为总体参数（或g( )）的估计时，Ｔ就称为（或g( )）的估计量。
定义6.1矩估计量 设是总体Ｘ的样本，Ｘ的分布函数 依赖于参数，假定X的r阶矩为
（或r阶中心矩）相应的样本矩记为 如下的k个议程
                            （6.1）
的解，称为未知参数的矩估计。
例6.1 (971) 设总体X的密度是未知参数，是总体Ｘ的样本，求的矩估计。
解：总体只有一个未知参数，只须建立一个（一阶矩）方程式
         
建立方程
例6.2 设是总体的样本，求a,b的矩估计。
解：总体有两个未知参数，须建立两个方程。由于

练习：设。
     
二、最（极）大似然估计
设总体Ｘ的密度函数是参数或参数向量，是该总体的样本，对给定的一组观测值，其联合密度是的函数，又称似然函数，记为：

其中为参数集，若存在　使就称
是的最大似然估计值，而是的最大似然估计量。
注：１）对给定的观测值，是的函数，最大似然估计的原理是选择使观测值出现的“概率”达到最大的作为的估计。
２）最大似然估计具有不变性，即若是的最大似然估计，则的最大似然估计为。但是，矩估计不具有不变性，例如假定的矩估计，一般情形下，的矩估计不是。
例6.3 设总体Ｘ具有有是已知的正整数，求未知参数的最大似然估计。
解：对给定的观测值，其似然函数为：
当时，对数似函数为：
（6.3）
令　　　

的最大似然估计量为。
注：在（6.3）式中，对求偏导数与无关的量均归为常数。
例6.4 的最大似然估计量。
解：
 又因为的最大似然估计量分别为根据极大似然估计的不变性，可知p的极大似然估计量为。
例6.5　设的极大似然估计。
解：总体密度为时。故对于样本观测值，似然函数为
如果的估计取得过大，将变小（因为分母变大），如果取得太小，某，这时故的极大似然估计值为极大似然估计量为
例6.6 某单位有M辆自行车，编号为，假定职工存取自行车是随机的，有人连续观测了几天，将其第i天看到的第一辆车的牌号记为,求M的极大似然估计量。
    解：设总体X表示每天存取的牌号，X取值，由于存取车是随机的，故其分布列为。这可以视为离散型均匀分布，同上题分析知M的极大似然估计量为
    例6.7 设某种元件的寿命,其中是未知参数,
又设是X的一组观测值，求的最大似然估计值．
解：似然函数

对数似然函数
，
是的单调增加函数，越大越大，但如果大于某，则其值＝０，故时达到最大．
    三、估计量的优良性质：
以下假定的估计量（对的估计量也成立）
    无偏性：
    一致性：。
注：一致估计具有不变性，即若的一致估计量，的函数，则的一致估计量。
例6.8 设是总体X的样本，
 则           （C）
（A）S是的无偏估计量.       （B）S是的最大似然估计量.
（C）S是的一致估计量.        (D) S与相互独立的.
解：的无偏估计量，无偏估计不具有不变性，因此一般情况下S不是的无偏估计量；尽管最大似然估计具有不变性，但一般情况下的最大似然估计量是一致估计具有不变性，故（C）成立；在正态分布情况下
相互独立。
    例6.5续： 是否为的无偏估计（或是否具有无偏性），是否为的一致估计。
解：当时
当时
而的无偏估计。
对给定的

   
故的一致估计。
有效性：的无偏估计，若，称较有效。
例6.9设从均值为，方差为的总体中分别抽取容量为的两个独立样本，样本均值分别记为，试证对于任意满足的常数。的无偏估计，并确定常数，使Ｔ的方差达到最小。
解：即的无
偏估计量，又而令
故处达到最小值，即使Ｔ的方差达到最小。
二、区间估计
设是总体X的样本，总体参数为对给定的
，若统计量，满足，就称随机
区间的置信度为的置信区间（区间估计）。
具体做法：构造样本的函数，其中的分布与无关，选择
使
再将上式转换成即可。
例6.10 求的置信度为的置信区间，如果取得如下观测值：1.8，2.1，2.0，2.2，1.9，2.2，1.8，求的区间估计值。
解：先考虑的区间估计，构造一个随机变量且，且其分布易求。
，
     
但上式还含有其他参数(称为讨厌参数)，当已知为，的的置信区间为，在（934略）中，得到的的区间估计值为 [4.804,5.196]。
当未知时，用s代替，就有,r.v
其中，于是由t－分布的对称性。

对于，由于
故由分布的非对称性

对于本例，给定的样本观测值算得
    ，
，
故的区间估计值为：
             
的区间估计值为：
例6.11 (003) 假定0.5, 1.25, 0.8, 2.0是总体X的样本值，已知，
（1）求；（2）求的0.95置信区间；（3）b的0.95置信区间。
    解：（1），
   

（2），故，于是
      ， （1）
的95%置信区间为，
由观测值算的，故
的95%置信区间为。
   （3）由的严格递增值，及（1）知
   
故由的95%置信区间为。
       
 第七讲    假  设  检  验

    统计假设：对总体的分布形式或分布中的某些参数所作的某种假设。
    检验：由样本构造合适的统计量，对统计假设正确与否所作的判断。
一、基本概念：
1、假设检验的一般步骤：
1）将实际问题转化成统计假设检验问题。提出原假设  与备选假设
注：如果，那么意味，意味且
2）构造合适的统计量
3）导出统计量的分布，对给定的显著水平，确定拒绝域
4）根据样本观测值，计算统计量的值，判断是否落在拒绝域内，并对实际问题作出问答。
2、检验类型：单边检验与双边检验；一个总体与两总体检验；均值与方差检验。
3、两类错误。
二、应用举例
例7.1 某味精厂生产的味精每袋重X（克）服从，根据要求每袋重100
克，由以往生产经验知X的均方差为基本稳定，现从某天包装的味精中随机
抽取9袋，测得它们的重为99.3，98.7，100.5，101.2，99.3，99.7，99.5，102.1，100.5，
试问这天包装的味精是否合格？
解：是正态总体参数的假设检验问题，方差已知，参数将
分成两部对应了实际问题中的包装合格与不合格（双边检验问题），即
      （包括）含等号的为原假设，于是
     
     由于方差已知，用统计量，即取=0.05

拒绝域，经计算，
   
接受原假设，认为包装机正常，包装合格。
例7.2 灯泡的使用寿命服从分布，假定灯泡的额定寿命是960小时，从某批生产者的灯泡中随机抽验了10只，测得寿命为：
950，960，960，950，950，960，940，970，950，960
试问这批灯泡是否合格（）？
解：这是一个正态总体，方差未知，均值的单边假设检验问题，灯泡合格对应了
，灯泡不合格对应了，于是
             
          其中  
  拒绝域，临界值
由观测值算得   原假设成立，这批灯泡合格。
例7.3 某化工厂为了提高某种化学药品的得率，提出了两种工艺方案，为了研究哪一种方案好，分别用两种工艺各进行了10次试验，数据如下：

假设得率分别服从，问方案乙是否比方案甲显著提高得率？（取=0.01）
解：这是两个正态总体均值的检验问题。有显著提高：，无显著提高（单边检验）。
对于两个正态总体均值的检验，大纲只给出两总体方差相等时的检验问题，故可以先进行方差相等的（双边）检验。
，
 ，
而：
接受原假设，即：
再检验（单边）假设：               
查表： 拒绝域 而
   
拒绝原假设，认为，乙方案的结果显著提高。
注：两正态总体方差未知，但相等的检验统计量：
独立，为比较的差
的差衡量，
        故
又
从而

如本例给出两总体的具体观测值，且，这时可令
从而
检验统计量
其中,这就避开了检验方差是否相等的检验。