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解放军文职招聘考试第一章 随机事件及其概率

来源: 2017-05-30 11:08
 第一章 随机事件及其概率
一、随机事件及其运算
1. 样本空间、随机事件
①样本点:随机试验的每一个可能结果,用表示;
②样本空间:样本点的全集,用表示;
注:样本空间不唯一.
③随机事件:样本点的某个集合或样本空间的某个子集,用A,B,C,…表示;
④必然事件就等于样本空间;不可能事件是不包含任何样本点的空集;
⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
2. 事件的四种关系
①包含关系:,事件A发生必有事件B发生;
②等价关系:, 事件A发生必有事件B发生,且事件B发生必有事件A 发生;
③互不相容(互斥):  ,事件A与事件B一定不会同时发生。
④互逆关系(对立):,事件发生事件A 必不发生,反之也成立;
互逆满足
注:互不相容和对立的关系(对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件。)
3. 事件的三大运算
①事件的并:,事件A与事件B至少有一个发生。若,则;
②事件的交:,事件A与事件B都发生;
③事件的差:,事件A发生且事件B不发生。
4. 事件的运算规律
①交换律:
②结合律:
③分配律:
④德摩根(De Morgan)定律:
  对于n个事件,有

二、随机事件的概率定义和性质
1.公理化定义:设试验的样本空间为,对于任一随机事件
都有确定的实值P(A),满足下列性质:
(1) 非负性:
(2) 规范性:
(3)有限可加性(概率加法公式):
对于k个互不相容事件,有.
则称P(A)为随机事件A的概率.
2.概率的性质


③若,则
注:性质的逆命题不一定成立的. 如
若则。(×)
若,则。(×)
三、古典概型的概率计算
古典概型:若随机试验满足两个条件:
①只有有限个样本点,
② 每个样本点发生的概率相同,则称该概率模型为古典概型,。
典型例题:设一批产品共N件,其中有M件次品,从这批产品中随机抽取n件样品,则
(1)在放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A1)的概率为
(2)在不放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A2)的概率为
四、条件概率及其三大公式
1.条件概率:
2.乘法公式:
4.全概率公式:
若,则。
5.贝叶斯公式:若事件如全概率公式所述,且  .
五、事件的独立
1. 定义:.
推广:若相互独立,
2. 在四对事件中,只要有一对独立,则其余三对也独立。
3. 三个事件A, B, C两两独立:
注:n个事件的两两独立与相互独立的区别。(相互独立两两独立,反之不成立。)
4.伯努利概型:
练习:
一、判断正误
1.事件的对立与互不相容是等价的。(X)
2.若 则。(X)
3.。 (X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。(∨)
5. n个事件若满足,则n个事件相互独立。(X)
6. 当时,有P(B-A)=P(B)-P(A)。(∨)
二、选择题
1.设A, B为两事件,则P(A-B)等于 (   C  )
      A.  P(A)-P(B)                 B.  P(A)-P(B)+P(AB)
      C.  P(A)-P(AB)                D.  P(A)+P(B)-P(AB)
2. 以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为 (  D  )
A. “甲种产品滞销,乙种产品畅销”
B. “甲乙两种产品均畅销”
C. “甲种产品滞销”
      D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”
3.若A, B为两随机事件,且,则下列式子正确的是 (  A  )
      A.  P(A∪B)=P(A)              B.  P(AB)=P(A)
      C.  P(B|A)=P(B)               D.  P(B-A)=P(B)-P(A)
4.设,则等于 (  B  )
      A.                    B. 
      C.                    D. 
三、解答题
1.
解:(1) 因为A,B不相容,有
所以
(2) 因为A,B独立,所以

,
2.已知且求的值.
解:由概率乘法公式得   
3. 设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为3份,7份和5份随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.
求先抽到的一份是女生表的概率p。
解: 设表示“第i次取出的报名表是女生表”, i=1,2
表示“报名表是取自第j区的考生”,  j=1,2,3.
根据题意得

第二章  随机变量及其分布
一、随机变量的定义
设样本空间为,变量为定义在上的单值实值函数,则称为随机变量,通常用大写英文字母,用小写英文字母表示其取值。
二、分布函数及其性质
1. 定义:设随机变量,对于任意实数,函数称为随机变量的概率分布函数,简称分布函数。
注:当时,
(1)X是离散随机变量,并有概率函数则有
(2) X连续随机变量,并有概率密度f (x),则
.
2. 分布函数性质:
(1)F(x)是单调非减函数,即对于任意x1 <x2,有;
(2);且;
(3)离散随机变量X,F (x)是右连续函数, 即;
  连续随机变量X,F (x)在(-∞,+∞)上处处连续。
注:一个函数若满足上述3个条件,则它必是某个随机变量的分布函数。
三、离散随机变量及其分布
1. 定义.  设随机变量X只能取得有限个数值,或可列无穷多个数值
且,则称X为离散随机变量, pi (i=1,2,…)为X的概率分布,或概率函数 (分布律).
注:概率函数pi的性质:

2. 几种常见的离散随机变量的分布:
(1)超几何分布,X~H(N,M,n),
(2)二项分布,X~B(n.,p),
当n=1时称X服从参数为p的两点分布(或0-1分布)。
若Xi(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立,则服从二项分布。
(3)泊松(Poisson)分布,,
四、连续随机变量及其分布
1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I,且存在非负函数f(x),使得对于任意区间,有则称X为连续随机变量; 函数f (x)称为连续随机变量X的概率密度函数,简称概率密度。
注1:连续随机变量X任取某一确定值的概率等于0, 即
注2:
2. 概率密度f (x)的性质: 
性质1:
性质2:
注1:一个函数若满足上述2个条件,则它必是某个随机变量的概率密度函数。
注2:当时,
且在f(x)的连续点x处,有
3.几种常见的连续随机变量的分布:
(1) 均匀分布 ,
(2) 指数分布,
(3) 正态分布 ,
练习题:
一、判断正误:
1. 概率函数与密度函数是同一个概念。( X )
2.当N充分大时,超几何分布H (n, M, N)可近似成泊松分布。( X )
3.设X是随机变量,有。( X )
4.若的密度函数为=,则 ( X )
二、选择题
1.设离散随机变量X的概率函数为,则c的值为( C )
A.          B.       C.          D.
2.设在[a, b]上,随机变量X的密度函数为f(x)=sinx,而在[a, b]外,f(x)=0,则区间[a,b]等于:( A )
     A.       B.       C.       D.
3.设随机变量X~B(2, p), 随机变量Y~B(3, p),若P(X≥1)=5/9, 则
P(Y≥1)=(  B  ).
A. 1/27;     B. 19/27;       C. 1/9;         D.7/9
三、解答题
1. 口袋中有7个白球,3个黑球.
(1) 每次从中任取一个不放回,求首次取出白球的取球次数X的概率分布;
(2) 如果取出的是黑球则不放回,而另外放入一个白球,求此时X的概率分布.
解:X的首次取到白球的取球次数,则X的可能取值为1, 2, 3, 4,记Ai为“第i次取出的球为黑球” i=1,2,…,10.
(1)由乘法公式得
 
故X的概率分布为
  X     1     2      3      4
  P 7/10   7/30  7/120   1/120
(2) 如果取出黑球不放回,而另外放入一个白球,则由乘法公式得:
 

故X的概率分布为
  X  1      2       3        4
P  7/10    6/25   27/500   3/500
2. 设的概率分布是求它的分布函数。
解:当时,
当时,
当时,

3. 设随机变量X的概率密度为
                     
(1) 求常数A;(2) 求X的分布函数;(3) 求P(X>1)
解: (1)由概率密度的性质得
 
故A=20.
(2)当x<0时,
当0≤x<1时,
当x≥1时,
所以X的分布函数为

 

第三章 随机变量的数字特征
一、期望(或均值)
1.定义:
2.期望的性质:
 
3. 随机变量函数的数学期望
4. 计算数学期望的方法
(1) 利用数学期望的定义;
(2) 利用数学期望的性质;
常见的基本方法:
   将一个比较复杂的随机变量X 拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.
(3)利用常见分布的期望;
二、方差
1.方差
注:D(X)=E[X-E(X)]2≥0;它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小),表示X取值越分散(集中)。
2.方差的性质
(4) 对于任意实数C∈R,有  E ( X-C )2≥D( X )
当且仅当C = E(X)时,  E ( X-C )2取得最小值D(X).
(5) (切比雪夫不等式): 设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在,对于任意的正数有
或    
3. 计算
(1) 利用方差定义;
(2) 常用计算公式
(3) 方差的性质;
(4) 常见分布的方差.
注:常见分布的期望与方差
1. 若X~B(n, p), 则 E(X)=np, D(X) = npq;
2. 若
3. 若X~U(a, b), 则
4. 若
5. 若
三、原点矩与中心矩
(总体)X的k阶原点矩:
(总体)X的k阶中心矩:
 
练习  
一、判断正误:
1.只要是随机变量,都能计算期望和方差。( X )
2.期望反映的是随机变量取值的中心位置,方差反映的是随机变量取值的分散程度。(√)
3.方差越小,随机变量取值越分散,方差越大越集中。( X )
4.方差的实质是随机变量函数的期望。(√)
5.对于任意的X,Y,都有成立。( X )
二、选择题
1.则的值为( B )
    A.  4, 0.6;      B.  6, 0.4;     C.  8, 0.3;     D.  24, 0.1
2.随机变量X的数字期望为2,方差等于4,则E[D(X)], D[E(X)]的值分别为( D )
     A. X, X;       B. 2, 4;        C. 4, 2;          D. 4, 0.
3. 两个独立的随机变量X, Y的方差分别为4和2,则随机变量X-2Y的方差等于:( C )
     A.  0;        B.  8;       C.  12;           D. 无法计算.
4.则对于任意的常数c, 有(D )
; 
; 
5.,则对于任意给定的有( D )
     
    
三、填空题
1.设则的数学期望为____ 。
四、计算题
1.设X的概率密度为
试求.
解:

2.游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光,电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟,从底层起行。一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处,且X在[0,60]上服从均匀分布,求该游客等候时间Y的数学期望.
 解:因故其概率密度为
由题意得
所以

第四章 正态分布
一、正态分布的定义
1. 正态分布
⑴,其概率密度为
其分布函数为            
注:.
正态密度函数的几何特性:

          

 
2. 标准正态分布
当时,其密度函数为
且其分布函数为          
的性质:
 
 
3.正态分布与标准正态分布的关系
定理:若 则.
定理:设则
二、正态分布的数字特征
设 则
1. 期望E(X)
2.方差D(X)
3.标准差
三、正态分布的性质
1.线性性. 设则;
2.可加性. 设且X和Y相互独立,则
3.线性组合性 设,且相互独立,则
四、中心极限定理
1.独立同分布的中心极限定理
设随机变量相互独立,服从相同的分布,且
则对于任何实数x,有
定理解释:若满足上述条件,有
(1);;
(3)
2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
设则
定理解释:若当n充分大时,有
(1);
(2)
练习:
一、判断题
1.若则( X )
2.若则 ( √ )
二、选择题
1.若则(  B  )
A.1            B. 6            C. 5            D. 无法计算
2.若且相互独立,则服从(  C )分布.
  A.  N(0,1)        B. N(-6,-1)       C. N(-6,13)      D. N(-6, -5)
3. 设随机变量X与Y均服从正态分布:
 
三、填空题
1.已知连续随机变量X的概率密度函数为
则X的数学期望为__1____; X的方差为__1/2____.
四、计算题
1.
解:得
由独立同分布的中心极限定理,
                  
 
第五章 数理统计的基本知识
一、总体 个体 样本
1.总体:把研究对象的全体称为总体 (或母体).它是一个随机变量,记X.
2.个体:总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.
3.样本:从总体X中,随机地抽取n个个体, 称为总体X的容量为n的样本。
注:
⑴ 样本是一个n维的随机变量;
⑵ 本书中提到的样本都是指简单随机样本,其满足2个特性:
① 代表性:中每一个与总体X有相同的分布.
 ② 独立性:是相互独立的随机变量.
4.样本的联合分布
设总体X的分布函数为F(x),则样本的联合分布函数为
(1) 设总体X的概率密度函数为f (x), 则样本的联合密度函数为
(2) 设总体X的概率函数为, 则样本的联合概率函数为
二、统计量
1. 定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数称为统计量,
是的观测值.
注:(1)统计量是随机变量;
   (2)统计量不含总体分布中任何未知参数;
   (3)统计量的分布称为抽样分布.
2. 常用统计量
(1)样本矩
①样本均值 ; 其观测值   .
可用于推断:总体均值 E(X).
②样本方差 ;
其观测值    
可用于推断:总体方差D(X).
③样本标准差
 
其观测值   
④样本k 阶原点矩
其观测值   
⑤样本 k 阶中心矩
其观测值             
注:比较样本矩与总体矩,如样本均值和总体均值E(X);样本方差与总体方差D(X);
样本k阶原点矩与总体k阶原点矩;样本k阶中心矩与总体k阶原点矩.
前者是随机变量,后者是常数.
(2)样本矩的性质:
设总体X的数学期望和方差分别为,为样本均值、样本方差,则
        
3.抽样分布:统计量的分布称为抽样分布.
三、3大抽样分布 
(1)定义.设相互独立,且,则
注:若则
(2)性质(可加性)
设相互独立,且则
2. t分布
设X 与Y 相互独立,且则
注:t分布的密度图像关于t=0对称;当n充分大时,t分布趋向于标准正态分布N(0,1).
3. F分布
(1)定义. 设X与Y相互独立,且则
(2) 性质. 设则.
四、分位点
定义:对于总体X和给定的若存在,使得
则称为X分布的分位点。
注:常见分布的分位点表示方法
(1)分布的分位点
(2)分布的分位点 其性质:
(3)分布的分位点其性质
(4)N(0,1)分布的分位点有
第六章 参数估计
一、点估计
1. 定义 设为来自总体X的样本,为X中的未知参数,为样本值,构造某个统计量作为参数的估计,则称为的点估计量,为的估计值.
2.常用点估计的方法:矩估计法和最大似然估计法.
二、矩估计法
1.基本思想: 用样本矩(原点矩或中心矩)代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数的矩估计步骤:
① 求出总体矩,即;
② 用样本矩代替总体矩,列出矩估计方程:
③ 解上述方程(或方程组)得到的矩估计量为:
④ 的矩估计值为:
3. 矩估计法的优缺点:
  优点:直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
  缺点:没有充分利用总体分布提供的信息;矩估计量不具有唯一性;可能估计结果的精度比其它估计法的低
三、最大似然估计法
1. 直观想法:在试验中,事件A的概率P(A)最大, 则A出现的可能性就大;如果事件A出现了,我们认为事件A的概率最大.
2. 定义 设总体X的概率函数或密度函数为(或),其中参数未知,则X的样本的联合概率函数(或联合密度函数)
(或)
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤:
(1)求似然函数:
X离散:      X连续:
(2)求和似然方程:
(3)解似然方程,得到最大似然估计值:
(4)最后得到最大似然估计量:
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法,但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
1.无偏性
设是未知参数的估计量,若,则是的无偏估计量,是的无偏估计值。
1.有效性
设和是未知参数的无偏估计量,
若,则称比有效。
练习
一、判断题
(1)若是来自总体X的样本,则相互独立. ( √)
(2)不含总体X的任何未知参数的样本函数就是统计量. ( √ )
(3)样本矩与总体矩是等价的。( X )
(4)矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩,故矩估计量不唯一.( X )
(5)设总体,则估计量分别是的无偏估计量.( X )
二、选择题
1.设X1,X2 ,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,则X1,X2 ,…,Xn必然满足(  C   ).
A. 独立但分布不同;      B. 分布相同但不相互独立;
C. 独立同分布;           D. 不能确定.
2.下面不是统计量的是(  D  )
 
3. 若且X,Y相互独立,则服从(  A  )分布.
A.  F(1,4)        B. t(2)           C. N(0,1)        D. F(4, 1)
4. 设总体, 是来自X的样本,则估计量的分别为(   D  )
A.        B.         C.       D. 
5.设则
A.1.96;          B.0.05;            C.0.025;          D.0.95
三、计算题
1.设总体是来自X的样本,
(1)写出的联合概率密度函数;
(2)求
解:由总体其概率密度为
(1)样本的联合概率密度函数为
(2)由于相互独立,与总体同分布,故
.
2. 设总体X的概率密度为
是来自总体X的一个样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求参数的估计量。
解:(1) 矩估计法
用样本一阶原点矩代替总体一阶原点矩, ,即
解得
所以参数的矩估计量为.
(2) 样本的似然函数为
 
解得
从而的最大似然估计量为
 

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