线性代数讲义
线性代数攻略
线性代数由两部分组成:
第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)
第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)
第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)
第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)
主观题对策
1. 计算题精解
计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题.
1. 计算题精解
计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题.
一.行列式的计算:
单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点.
单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点.
l 核心内容
范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则:
范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则:
l 典型方法
降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积)
降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积)
例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式：
.
解先算|B|=xn;再算|A|：
故|C|=
|A|(-1)(1+¼+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1|
=(-1)(1+2n)n(n+x)/x.
例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ].
.
解先算|B|=xn;再算|A|：
故|C|=
|A|(-1)(1+¼+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1|
=(-1)(1+2n)n(n+x)/x.
例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ].
分析 化简可得(A-2E)BA*=E； 于是|A-2E||B||A*|=1. 又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9. (切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.)
例3 设4×4矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|=[ ].
正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a|
=2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6.
巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则 .但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6.
例3 设4×4矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|=[ ].
正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a|
=2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6.
巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则 .但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6.
例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|=[ ].
解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了:
A-1+2A* = A-1 (E+2A A*)
= A-1 (E+2|A|E)=-11A-1.
故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6.
本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵!
解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了:
A-1+2A* = A-1 (E+2A A*)
= A-1 (E+2|A|E)=-11A-1.
故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6.
本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵!
例2(上海交大2002) 计算行列式
其中, .
本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B¹0,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn¹0. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK
例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|.
很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以,
|2A2+3E|=3´5´35=525.
例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA¢=I,|A|<0,求|A+I|.
解首先, 1=|AA¢|=|A|2,所以|A|=-1. 其次,
|A+I|=|A+AA¢|=|A||I+A¢|=|A||I+A|=-|I+A|,
故|A+I|=0.
(涉及的知识点: |A|=|A¢|, (A+B)¢=A¢+B¢.)
例5(1999)设A是m´n矩阵,B是n´m矩阵,则
A.当m>n时,必有行列式|AB|¹0.
B.当m>n时,必有行列式|AB|=0.
C.当m<n时,必有行列式|AB|¹0.
D.当m<n时,必有行列式|AB|=0.
二. 矩阵与n维向量空间
l 核心内容
矩阵运算(主要是乘法)/矩阵的秩/可逆矩阵/伴随矩阵与逆矩阵/线性方程组的一般解/线性相关与线性无关/极大线性无关组/向量组的秩/向量组的等价/n维线性空间/维数/基/坐标/过渡矩阵/线性空间与线性方程组的关系/欧氏空间/内积/标准正交基/正交矩阵/Gram-Schmidt正交化方法
l 典型方法
初等变换与初等矩阵
l 典型例题
1.解矩阵方程:原则是先化简后计算
例6设矩阵B满足方程 .求B.
解 A显然可逆,故将方程两端右乘A-1,得 ;再左乘A,由 ,得
,
所以
例7 设
其中, .
本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B¹0,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn¹0. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK
例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|.
很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以,
|2A2+3E|=3´5´35=525.
例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA¢=I,|A|<0,求|A+I|.
解首先, 1=|AA¢|=|A|2,所以|A|=-1. 其次,
|A+I|=|A+AA¢|=|A||I+A¢|=|A||I+A|=-|I+A|,
故|A+I|=0.
(涉及的知识点: |A|=|A¢|, (A+B)¢=A¢+B¢.)
例5(1999)设A是m´n矩阵,B是n´m矩阵,则
A.当m>n时,必有行列式|AB|¹0.
B.当m>n时,必有行列式|AB|=0.
C.当m<n时,必有行列式|AB|¹0.
D.当m<n时,必有行列式|AB|=0.
二. 矩阵与n维向量空间
l 核心内容
矩阵运算(主要是乘法)/矩阵的秩/可逆矩阵/伴随矩阵与逆矩阵/线性方程组的一般解/线性相关与线性无关/极大线性无关组/向量组的秩/向量组的等价/n维线性空间/维数/基/坐标/过渡矩阵/线性空间与线性方程组的关系/欧氏空间/内积/标准正交基/正交矩阵/Gram-Schmidt正交化方法
l 典型方法
初等变换与初等矩阵
l 典型例题
1.解矩阵方程:原则是先化简后计算
例6设矩阵B满足方程 .求B.
解 A显然可逆,故将方程两端右乘A-1,得 ;再左乘A,由 ,得
,
所以
例7 设
解移项得,(2E-A)X=B,所以X=(2E-A)－1B.再使用初等变换(如此较少出错,不要先求逆,再计算矩阵的乘积:除非矩阵比较特殊或非常简单)求(2E-A)-1B：
例8(2000) 设矩阵A的伴随矩阵 ,且 ,求B.
解先化简可得AB=B+3A,即(A-E)B=3A,故
B=3(A-E)-1A.而A与其伴随矩阵的关系为A*A=|A|E,从而A=|A|(A*)-1.|A|n=|A||A*| =8|A|, n=4, |A|=2. 所以
B= 3(A-E)-1A=6[A*(A-E)]-1
=6 (2E-A*)-1.
因为 ,故由初等变换可得
.(实际上不用作具体计算,因为是将单位矩阵的第1行的-1倍加到第3行, 再将第四行乘以-6,再将第2行的3倍加到第4行;反其道而行之-注意顺序:矩阵乘积的逆要反序,即可).
例9(2001)设矩阵A满足A2+A-4E=O,则(A-E)-1=[ ].
2.解线性方程组
例8(2000) 设矩阵A的伴随矩阵 ,且 ,求B.
解先化简可得AB=B+3A,即(A-E)B=3A,故
B=3(A-E)-1A.而A与其伴随矩阵的关系为A*A=|A|E,从而A=|A|(A*)-1.|A|n=|A||A*| =8|A|, n=4, |A|=2. 所以
B= 3(A-E)-1A=6[A*(A-E)]-1
=6 (2E-A*)-1.
因为 ,故由初等变换可得
.(实际上不用作具体计算,因为是将单位矩阵的第1行的-1倍加到第3行, 再将第四行乘以-6,再将第2行的3倍加到第4行;反其道而行之-注意顺序:矩阵乘积的逆要反序,即可).
例9(2001)设矩阵A满足A2+A-4E=O,则(A-E)-1=[ ].
2.解线性方程组
例10(1998)已知线性方程组(I)
的一个基础解系为 …, .试写出线性方程组(II)
的通解,并说明理由.
解求线性方程组的通解的前提是知道系数矩阵的秩,未知数的个数:方程组(I)与(II)均有2n个未知数;由已知条件(I)的一个基础解系含有n个解向量,从而其系数矩阵r(A)=的秩为2n-n=n. 显而易见,方程组(I)与(II)有某种密切的联系,为了看清楚这种联系,最好的办法是采用矩阵形式:将方程组(I)与(II)分别改写为矩阵形式可得:Ax=0与(II)Bx=0.由于B的行向量组是一个基础解系,故线性无关,所以r(B)=n.因此方程组(II)的一个基础解系含n个解向量.
由已知条件,B的每一行的转置向量都是(I)的解,即ABT=0.从而知(ABT)T=0,即BAT=0.因此A的每一行的转置向量都是(II)的解.但r(A)=n,所以A的行向量线性无关,因此AT的全体列向量组恰好构成(II)的一个基础解系,所以通解迎刃而解.Ok.
下面是一个轻松的例子:
例11 解线性方程组 ,其中a与b是参数.
解注意,当系数矩阵或增广矩阵含参数时,不要让参数参与初等变换(以免无意中用0作了分母):
解求线性方程组的通解的前提是知道系数矩阵的秩,未知数的个数:方程组(I)与(II)均有2n个未知数;由已知条件(I)的一个基础解系含有n个解向量,从而其系数矩阵r(A)=的秩为2n-n=n. 显而易见,方程组(I)与(II)有某种密切的联系,为了看清楚这种联系,最好的办法是采用矩阵形式:将方程组(I)与(II)分别改写为矩阵形式可得:Ax=0与(II)Bx=0.由于B的行向量组是一个基础解系,故线性无关,所以r(B)=n.因此方程组(II)的一个基础解系含n个解向量.
由已知条件,B的每一行的转置向量都是(I)的解,即ABT=0.从而知(ABT)T=0,即BAT=0.因此A的每一行的转置向量都是(II)的解.但r(A)=n,所以A的行向量线性无关,因此AT的全体列向量组恰好构成(II)的一个基础解系,所以通解迎刃而解.Ok.
下面是一个轻松的例子:
例11 解线性方程组 ,其中a与b是参数.
解注意,当系数矩阵或增广矩阵含参数时,不要让参数参与初等变换(以免无意中用0作了分母):
所以当a¹2时方程组有唯一解:
当a=2,b¹1时无解；
当a=2,b=1时有无穷多组解：，k为任意常数.
注意事项：尽可能避免使用参数的倒数作因子，以防漏解。万不得已时，应先讨论可能使分母为0的情况。
例12(1994) 设四元线性齐次方程组(I)为
当a=2,b=1时有无穷多组解：，k为任意常数.
注意事项：尽可能避免使用参数的倒数作因子，以防漏解。万不得已时，应先讨论可能使分母为0的情况。
例12(1994) 设四元线性齐次方程组(I)为
又已知某线性齐次方程组(II)的通解为 .
求线性方程组(I)的通解;
问线性方程组(I)与(II)有无非0公共解?若有,则求出.若无,则说明理由.
解(1) 此容易.未知数的个数n=2,系数矩阵的秩r=2,故基础解系含两个解向量(选x2与x3为自由变量),比如 ,故(I)的通解为 .
(2)线性方程组(I)与(II)的公共解需满足
(左边为(II)的解,右边为(I)的解).故需求不全为0的系数,即下面的线性方程组的非0解:
系数矩阵为
求线性方程组(I)的通解;
问线性方程组(I)与(II)有无非0公共解?若有,则求出.若无,则说明理由.
解(1) 此容易.未知数的个数n=2,系数矩阵的秩r=2,故基础解系含两个解向量(选x2与x3为自由变量),比如 ,故(I)的通解为 .
(2)线性方程组(I)与(II)的公共解需满足
(左边为(II)的解,右边为(I)的解).故需求不全为0的系数,即下面的线性方程组的非0解:
系数矩阵为
故所求不全为0的系数为
因此(I)与（II）的非0公共解为
例13(2001) 设是线性方程组Ax=0的一个基础解系, 是实常数.试问满足什么关系时, 向量组
也是Ax=0的一个基础解系?
解一个向量组什么时候可以成为一个齐次线性方程组的基础解系?两个条件:一是精干(即本身是线性无关的),二是能干(即该组能够表示所有解向量).所以欲使该向量组构成一个基础解系,必要且只要其线性无关(因为它只有s个向量).将其改写为下述矩阵形式:
解一个向量组什么时候可以成为一个齐次线性方程组的基础解系?两个条件:一是精干(即本身是线性无关的),二是能干(即该组能够表示所有解向量).所以欲使该向量组构成一个基础解系,必要且只要其线性无关(因为它只有s个向量).将其改写为下述矩阵形式:
可知需要右端的矩阵A可逆:当且仅当行列式|A|¹0.直接计算可知所以当时,该向量组也是一个基础解系.
例14(2004) 设有齐次线性方程组
试问a取何值时,该方程组有非0解,并求出其通解.
解该方程有n个未知数,n个方程,故可由Cramer法则解决:即它有非0解当且仅当系数行列式等于0.但还要求出通解,此法就不行了,此时必须使用初等变换.
故先算行列式:容易看出系数行列式的规律,即所有列的和均相等,故其值为
(此还可由特征值得到,你看出来了吗?).所以当a=0或时,方程组有非0解.
当a=0时,方程组变为
,
因此其通解为
为任意常数,其中
.
当时,对系数矩阵作初等变换:
解该方程有n个未知数,n个方程,故可由Cramer法则解决:即它有非0解当且仅当系数行列式等于0.但还要求出通解,此法就不行了,此时必须使用初等变换.
故先算行列式:容易看出系数行列式的规律,即所有列的和均相等,故其值为
(此还可由特征值得到,你看出来了吗?).所以当a=0或时,方程组有非0解.
当a=0时,方程组变为
,
因此其通解为
为任意常数,其中
.
当时,对系数矩阵作初等变换:
故通解为(取x1为自由变量!)
为任意常数.
例15(2002) 已知四阶方阵 ,其中线性无关, .如果 ,求线性方程组Ax=b的通解.
解首先要知道Ax=0的解.由于r(A)=3,n=4(未知数的个数),故只需求一个非0解即可.什么是非0解?当然是0向量的组合系数,也就是由得到的的向量a=(1,-2,3,0)T.
其次需要一个特解,即由得到的系数g=(1,1,1,1)T.
最后,将上述解组合起来即可得到通解:
x=k(1,2,-3,0)+(1,1,1,1).
例16(1998)设矩阵
是满秩的,则直线与直线 ( )
A. 相交于一点. B. 重合.
C.平行但不重合. D.异面.
例17(1996)求齐次线性方程组的基础解系.
例18(1997)设A是可逆方阵,将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B.(1)证明B可逆;(2)求AB-1.
为任意常数.
例15(2002) 已知四阶方阵 ,其中线性无关, .如果 ,求线性方程组Ax=b的通解.
解首先要知道Ax=0的解.由于r(A)=3,n=4(未知数的个数),故只需求一个非0解即可.什么是非0解?当然是0向量的组合系数,也就是由得到的的向量a=(1,-2,3,0)T.
其次需要一个特解,即由得到的系数g=(1,1,1,1)T.
最后,将上述解组合起来即可得到通解:
x=k(1,2,-3,0)+(1,1,1,1).
例16(1998)设矩阵
是满秩的,则直线与直线 ( )
A. 相交于一点. B. 重合.
C.平行但不重合. D.异面.
例17(1996)求齐次线性方程组的基础解系.
例18(1997)设A是可逆方阵,将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B.(1)证明B可逆;(2)求AB-1.
三.线性相关与线性无关
例19(基本运算技能) 设向量组求该组的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
解构造矩阵 ,并利用行初等变换求其简化阶梯形矩阵：因此,该向量组的秩为3, 构成一个极大线性无关组,且 .
例20(2000) 设n维列向量线性无关,则n维列向量线性无关的充分必要条件是
A.向量组可由向量组线性表示;
B.向量组可由向量组线性表示;
C.向量组与向量组等价;
D.矩阵与矩阵等价.
解 B最错:此时向量组的特征完全没有体现;A也错,因为此时向量组当然线性无关,故是充分条件,但不必要;C也是充分条件,不必要.故选D.
例21(2003) 设向量组I: 可由向量组II: 线性表示;则
A.当r<s时,向量组II必线性相关;
B.当r>s时,向量组II必线性相关;
C.当r<s时,向量组I必线性相关;
D.当r>s时,向量组I必线性相关.
解由于只知道I能由II线性表示,故只能讨论I的线性相关性, 对II则一无所知(它可能线性相关,也可能线性无关).所以A,B错.只与C,D就较为明显了:向量越多则越容易线性相关.当r>s时,I中的向量个数多于II,只能线性相关.
例22(2004) 设A，B为满足AB=0的任意两个非0矩阵，则必有
A.A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关
B.A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关
C.A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关
D.A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关
分析(2004-12) 这实际上是考察我们对矩阵乘法的理解:”左行右列”原则说AB的列是A的列的线性组合,而其行是B的行的线性组合,现在AB=0,故A的列的线性组合为0,B的行的线性组合为0,从而A的列线性相关,B的行线性相关,选A.
[这是概念性很强的线性代数题,50％的考生早在上线性代数课的时候就晕过无数次,现在又要再晕一次了(我们将在线性代数的复习中帮助大家苏醒过来).但现在我们是在做选择题!选最简单的矩阵(当然1×1的不行---为什么???故1×2的最简单)如下: .如此,A的行线性无关,C,D错;B的列线性无关,B,D错!]
例23(1997) 设
则三条直线交于一点的充分必要条件是
A. 线性相关;
B. 线性无关;
C.秩( )=秩( );
D. 线性相关; 线性无关.
解实际上是解线性方程组:交于一点等价于有唯一解,等价于系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于2.所以选D.(试试用特殊值法)
例24(1998) 设A是n阶矩阵,若存在正整数k使得线性方程组Akx=0有解向量a,且Ak-1a¹0.证明:向量组a,Aa,…,Ak-1a是线性无关的.
证明设
b0a+b1Aa+…+bk-1 Ak-1a=0,
我们证明所有的系数只能等于0.为此, 两边同乘以Ak-1,可得
b0 Ak-1a+b1Ak-1Aa+…+bk-1 Ak-1Ak-1a=0,
a是Akx=0的解,所以Aka=0,因此b0 Ak-1a=0;但Ak-1a¹0,只有b0=0. 再乘以Ak-2,可得
b1Ak-2Aa+…+bk-1Ak-2Ak-1a =0,
即b1Ak-2Aa=0,因此b1=0.类似地,可以证明b2=b3=…=bk-1=0.
例25(1996) 设a是n维非0列向量,a¢是a的转置向量,E是n阶单位矩阵,A=E-aa¢.证明: (1)A2=A的充分必要条件是a¢a=1.
(2)当a¢a=1时,A是不可逆矩阵.
证明:
例26(应用) 设Am´p,Bp´n,则
r(A)+r(B)-p £ r(AB)£ min{r(A),r(B)}.
证明先看第二个不等式:矩阵的乘法具有什么样的性质?”左行右列”.更进一步,乘积矩阵的行等于右边矩阵的行的线性组合,组合系数是左边矩阵相应的行;乘积矩阵的列等于左边矩阵的列的线性组合,组合系数是右边矩阵相应的列.
于是,AB的列均可由A的列线性表示,而其行可由B的行线性表示,从而其列秩不超过A的列秩,其行秩不超过B的行秩,因此该不等式成立.再来看第一个不等式:回忆可逆矩阵不改变矩阵的秩,且存在可逆矩阵P与Q使得 ,其中r= r(A). 于是PAB=PAQQ-1B = (PAQ)Q-1B=C,
其中C的前r行为Q-1B的前r行，后m-r行均为零。注意r(Q-1B)=r(B),故共有p行的矩阵Q-1B的前r行的秩至少为r(B)-(p-r)=r(A)+r(B)-p,即C的秩至少为r(A)+r(B)-p,但r(C)=r(AB),ok.
例27 设A为n阶矩阵，证明r(An)=r(An+1).
证明(此题较难)显然有r(An)³r(An+1).若A＝0或A可逆,则An与An+1也等于0或可逆,从而秩相等. 现设A¹0且A不可逆,则A, A2,…,An,An+1这n+1个矩阵的秩只能是0,1,2,…,n-1这n个数;从而必有两个矩阵的秩相同,设为r(As)=r(At),1£s<t£n+1.于是, r(At-1)=r(At). 断言r(At)=r(At+1).如此将有r(At+1)=r(At+2)=…= r(An)=r(An+1). 为此,只须证明方程Anx=0与An+1x=0同解.只须证明后者的解也是前者的解.设a是后者的解,即An+1a＝0,即An(Aa)＝0,因此Aa是前者的解.注意前者与An-1x＝0同解,因此Aa是An-1x=0的解,即An-1(Aa)＝0,即Ana＝0!
例27¢设A是矩阵,证明:r(A)=r(ATA).
证明首先,r(A)³ r(ATA). 其次,证明方程Ax=0与ATAx=0同解. 只须证明后者的解是前者的解.设a¹0是后者的解,即ATAa=0,欲证明Aa=0:如何证明一个向量x等于0向量?或者证明x的每一个分量均为0(这常常是过于憨厚的做法,但适合于可以计算的场合),或者证明x的长度等于0,即证明xTx=0.于是需要证明(Aa)TAa=0,但这就是aTATAa=0:此当然对!这就是说向量Aa的长度的平方＝0，因此Aa是0向量,即Aa＝0,故a是Ax=0的解.
解构造矩阵 ,并利用行初等变换求其简化阶梯形矩阵：因此,该向量组的秩为3, 构成一个极大线性无关组,且 .
例20(2000) 设n维列向量线性无关,则n维列向量线性无关的充分必要条件是
A.向量组可由向量组线性表示;
B.向量组可由向量组线性表示;
C.向量组与向量组等价;
D.矩阵与矩阵等价.
解 B最错:此时向量组的特征完全没有体现;A也错,因为此时向量组当然线性无关,故是充分条件,但不必要;C也是充分条件,不必要.故选D.
例21(2003) 设向量组I: 可由向量组II: 线性表示;则
A.当r<s时,向量组II必线性相关;
B.当r>s时,向量组II必线性相关;
C.当r<s时,向量组I必线性相关;
D.当r>s时,向量组I必线性相关.
解由于只知道I能由II线性表示,故只能讨论I的线性相关性, 对II则一无所知(它可能线性相关,也可能线性无关).所以A,B错.只与C,D就较为明显了:向量越多则越容易线性相关.当r>s时,I中的向量个数多于II,只能线性相关.
例22(2004) 设A，B为满足AB=0的任意两个非0矩阵，则必有
A.A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关
B.A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关
C.A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关
D.A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关
分析(2004-12) 这实际上是考察我们对矩阵乘法的理解:”左行右列”原则说AB的列是A的列的线性组合,而其行是B的行的线性组合,现在AB=0,故A的列的线性组合为0,B的行的线性组合为0,从而A的列线性相关,B的行线性相关,选A.
[这是概念性很强的线性代数题,50％的考生早在上线性代数课的时候就晕过无数次,现在又要再晕一次了(我们将在线性代数的复习中帮助大家苏醒过来).但现在我们是在做选择题!选最简单的矩阵(当然1×1的不行---为什么???故1×2的最简单)如下: .如此,A的行线性无关,C,D错;B的列线性无关,B,D错!]
例23(1997) 设
则三条直线交于一点的充分必要条件是
A. 线性相关;
B. 线性无关;
C.秩( )=秩( );
D. 线性相关; 线性无关.
解实际上是解线性方程组:交于一点等价于有唯一解,等价于系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于2.所以选D.(试试用特殊值法)
例24(1998) 设A是n阶矩阵,若存在正整数k使得线性方程组Akx=0有解向量a,且Ak-1a¹0.证明:向量组a,Aa,…,Ak-1a是线性无关的.
证明设
b0a+b1Aa+…+bk-1 Ak-1a=0,
我们证明所有的系数只能等于0.为此, 两边同乘以Ak-1,可得
b0 Ak-1a+b1Ak-1Aa+…+bk-1 Ak-1Ak-1a=0,
a是Akx=0的解,所以Aka=0,因此b0 Ak-1a=0;但Ak-1a¹0,只有b0=0. 再乘以Ak-2,可得
b1Ak-2Aa+…+bk-1Ak-2Ak-1a =0,
即b1Ak-2Aa=0,因此b1=0.类似地,可以证明b2=b3=…=bk-1=0.
例25(1996) 设a是n维非0列向量,a¢是a的转置向量,E是n阶单位矩阵,A=E-aa¢.证明: (1)A2=A的充分必要条件是a¢a=1.
(2)当a¢a=1时,A是不可逆矩阵.
证明:
例26(应用) 设Am´p,Bp´n,则
r(A)+r(B)-p £ r(AB)£ min{r(A),r(B)}.
证明先看第二个不等式:矩阵的乘法具有什么样的性质?”左行右列”.更进一步,乘积矩阵的行等于右边矩阵的行的线性组合,组合系数是左边矩阵相应的行;乘积矩阵的列等于左边矩阵的列的线性组合,组合系数是右边矩阵相应的列.
于是,AB的列均可由A的列线性表示,而其行可由B的行线性表示,从而其列秩不超过A的列秩,其行秩不超过B的行秩,因此该不等式成立.再来看第一个不等式:回忆可逆矩阵不改变矩阵的秩,且存在可逆矩阵P与Q使得 ,其中r= r(A). 于是PAB=PAQQ-1B = (PAQ)Q-1B=C,
其中C的前r行为Q-1B的前r行，后m-r行均为零。注意r(Q-1B)=r(B),故共有p行的矩阵Q-1B的前r行的秩至少为r(B)-(p-r)=r(A)+r(B)-p,即C的秩至少为r(A)+r(B)-p,但r(C)=r(AB),ok.
例27 设A为n阶矩阵，证明r(An)=r(An+1).
证明(此题较难)显然有r(An)³r(An+1).若A＝0或A可逆,则An与An+1也等于0或可逆,从而秩相等. 现设A¹0且A不可逆,则A, A2,…,An,An+1这n+1个矩阵的秩只能是0,1,2,…,n-1这n个数;从而必有两个矩阵的秩相同,设为r(As)=r(At),1£s<t£n+1.于是, r(At-1)=r(At). 断言r(At)=r(At+1).如此将有r(At+1)=r(At+2)=…= r(An)=r(An+1). 为此,只须证明方程Anx=0与An+1x=0同解.只须证明后者的解也是前者的解.设a是后者的解,即An+1a＝0,即An(Aa)＝0,因此Aa是前者的解.注意前者与An-1x＝0同解,因此Aa是An-1x=0的解,即An-1(Aa)＝0,即Ana＝0!
例27¢设A是矩阵,证明:r(A)=r(ATA).
证明首先,r(A)³ r(ATA). 其次,证明方程Ax=0与ATAx=0同解. 只须证明后者的解是前者的解.设a¹0是后者的解,即ATAa=0,欲证明Aa=0:如何证明一个向量x等于0向量?或者证明x的每一个分量均为0(这常常是过于憨厚的做法,但适合于可以计算的场合),或者证明x的长度等于0,即证明xTx=0.于是需要证明(Aa)TAa=0,但这就是aTATAa=0:此当然对!这就是说向量Aa的长度的平方＝0，因此Aa是0向量,即Aa＝0,故a是Ax=0的解.
三.特征值/特征向量/二次型
重中之重,每年线性代数必考
l 核心内容
特征值/特征向量/特征多项式/相似对角化/实对称矩阵/二次型/正定矩阵
例 28若三阶方阵A的特征值为-1,0,1,则与方阵B=A3-A+2E相似的对角矩阵为［］.
例29(1999) 设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值为[ ].
解你当然可以直接计算.但其秩为1,故最多有1 个非0特征值;又对角线元素之和为n,故还有一个特征值为n.Ok.(秩为1的矩阵需特别关注.)
例30(1999) 设矩阵 ,其行列式|A|=-1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值l,属于l的一个特征向量为a=(-1,-1,1)¢,求a,b,c和l的值.
解如果计算A*,则会有很多麻烦和困难.因此应该将条件转到A上.由于AA*=|A|E=-E,以及A*a=la,所以
-a=AA*a=A(la)=lAa,
即
重中之重,每年线性代数必考
l 核心内容
特征值/特征向量/特征多项式/相似对角化/实对称矩阵/二次型/正定矩阵
例 28若三阶方阵A的特征值为-1,0,1,则与方阵B=A3-A+2E相似的对角矩阵为［］.
例29(1999) 设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值为[ ].
解你当然可以直接计算.但其秩为1,故最多有1 个非0特征值;又对角线元素之和为n,故还有一个特征值为n.Ok.(秩为1的矩阵需特别关注.)
例30(1999) 设矩阵 ,其行列式|A|=-1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值l,属于l的一个特征向量为a=(-1,-1,1)¢,求a,b,c和l的值.
解如果计算A*,则会有很多麻烦和困难.因此应该将条件转到A上.由于AA*=|A|E=-E,以及A*a=la,所以
-a=AA*a=A(la)=lAa,
即
即
所以l=1,b=-3,a=c.再由|A|=-1,可知
,
所以a=c=2.
例31 设3阶实对称矩阵有3个特征值2,2,-3且，求正交矩阵Q,使得为对角矩阵.
解只需求属于特征值2的特征向量,设是属于特征值2的特征向量.由实对称矩阵的性质,属于特征值2的特征向量与属于特征值-3的特征向量正交,故与正交,所以，故得两个正交的单位特征向量
.
将单位化,得 . 所以，而 .
例32(2004) 设的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
解当然先求特征方程.
.
如果l=2是特征方程的二重根,则l=2满足方程 ,故知a=-2.
当a=-2时,A的特征值为2,2,6,矩阵的秩为1,故l=2对应的线性无关的特征向量有两个,从而A可以相似对角化.
如果l=2不是特征方程的二重根,则方程为完全平方,从而
此时,A的特征值为2,4,4,矩阵的致显然为2.故特征值l=4对应的线性无关的特征向量只有一个,故A不能相似对角化.
例33(2003)设 ,求B+2E的特征值与特征向量.
解I B与A*相似,故具有相同的特征值.而当A可逆时,A*的特征值与A的特征值密切相关,即为|A|/l,其中l为A的特征值.故只需求A的特征值: 所以A的特征值为1,1,7,行列式为7,所以A*的特征值为7,7,1.因此B+2E的特征值为9,9,3.
如何确定相应的特征向量?A与A*的特征向量是一致的:设Aa=la,则A*a=(|A|/l)a.但B与A*的特征向量未必一致.实际上,对上述a, 有B(P-1a)=P-1A*P(P-1a)= P-1A*a=(|A|/l) P-1a. 所以相应的特征向量为P-1a. 由于 ,而A的特征向量可直接求得为
(请注意:二重根对应的方程组只有一个方程).从而B+2E的一组线性无关的特征向量为
因此对应于9的全部特征向量为
不全为0;
对应于3的全部特征向量为
解II. 解I看似高明,实际不然.还不如直接求B来得快捷.由于A是3阶矩阵,A*容易用公式法计算: (由于A的长相实在漂亮,求一个对角元素一个非对角元素即可).接下来,你看出来了吗?对,P是两个初等矩阵的乘积:先是交换1,2两行,再是把第3行加到第2行!因此其逆P也为两个初等矩阵的乘积,即先将第3行的-1被加到第2行,在交换1,2两行.因此
所以故B的特征多项式为
,
所以a=c=2.
例31 设3阶实对称矩阵有3个特征值2,2,-3且，求正交矩阵Q,使得为对角矩阵.
解只需求属于特征值2的特征向量,设是属于特征值2的特征向量.由实对称矩阵的性质,属于特征值2的特征向量与属于特征值-3的特征向量正交,故与正交,所以，故得两个正交的单位特征向量
.
将单位化,得 . 所以，而 .
例32(2004) 设的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
解当然先求特征方程.
.
如果l=2是特征方程的二重根,则l=2满足方程 ,故知a=-2.
当a=-2时,A的特征值为2,2,6,矩阵的秩为1,故l=2对应的线性无关的特征向量有两个,从而A可以相似对角化.
如果l=2不是特征方程的二重根,则方程为完全平方,从而
此时,A的特征值为2,4,4,矩阵的致显然为2.故特征值l=4对应的线性无关的特征向量只有一个,故A不能相似对角化.
例33(2003)设 ,求B+2E的特征值与特征向量.
解I B与A*相似,故具有相同的特征值.而当A可逆时,A*的特征值与A的特征值密切相关,即为|A|/l,其中l为A的特征值.故只需求A的特征值: 所以A的特征值为1,1,7,行列式为7,所以A*的特征值为7,7,1.因此B+2E的特征值为9,9,3.
如何确定相应的特征向量?A与A*的特征向量是一致的:设Aa=la,则A*a=(|A|/l)a.但B与A*的特征向量未必一致.实际上,对上述a, 有B(P-1a)=P-1A*P(P-1a)= P-1A*a=(|A|/l) P-1a. 所以相应的特征向量为P-1a. 由于 ,而A的特征向量可直接求得为
(请注意:二重根对应的方程组只有一个方程).从而B+2E的一组线性无关的特征向量为
因此对应于9的全部特征向量为
不全为0;
对应于3的全部特征向量为
解II. 解I看似高明,实际不然.还不如直接求B来得快捷.由于A是3阶矩阵,A*容易用公式法计算: (由于A的长相实在漂亮,求一个对角元素一个非对角元素即可).接下来,你看出来了吗?对,P是两个初等矩阵的乘积:先是交换1,2两行,再是把第3行加到第2行!因此其逆P也为两个初等矩阵的乘积,即先将第3行的-1被加到第2行,在交换1,2两行.因此
所以故B的特征多项式为
故特征值为9,9,3.
当l=9时,只有一个独立方程(取第二行即可:2x+2y+4z=0,可得两个线性无关的特征向量:a=(-1,1,0),b=(-2,0,1);当l=3时,有两个方程,但第一个表明x=0.后一个方程表明y=z,所以g=(0,1,1).搞掂!
例34(2002) 设A,B为同阶方阵,
(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等.
(2)举一个2阶矩阵的例子说明(1)的逆命题不成立.
(3)当A,B均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
解这样容易的题目也就只有在线性代数中可能遇到了:因为只有线性代数是智慧,其余都是苦力.
(1)不用写出来了吧?
(2)同上句话.
(3)这是唯一值得写一下的.设A,B均为实对称矩阵,则它们均可以对角化.因为它们的特征多项式相同,从而具有相同的特征值,因此相似于同一个对角矩阵.但相似性是等价关系,故它们相似.Ok.
例35 设4阶矩阵A满足条件|A＋2E|＝0,ATA=3E,|A|>0.证明|2A*+9E|=0,其中A*是A的伴随矩阵。
证明只要证明A*有特征值-9／2.由于|A+2E|=0,故A有特征值-2;又因为ATA=3E,｜A|>0,所以|ATA|=|3E|＝34.但|ATA|＝|AT||A|＝|A|2,所以,|A|＝9.因此A*有特征值-9／2. Ok.
例36设A 是n阶矩阵,A2+3A-4E=0,证明:
(1)r(A+4E)+r(A-E)=n;
(2)A可以对角化;
(3)2A+3E可逆,并求其逆.
证明因为(A+4E)(A-E)=0,故(A-E)的每一列都是齐次方程组(A+4E)x=0的解，从而是矩阵A的属于特征值-4的特征向量；因此，r(A-E)£n-r(A+4E)，即
r(A-E)＋r(A+4E)£n。
又, r(A-E)+r(A+4E) = r(-A+E)+r(A+4E) ³ r(-A+E+A+4E)=r(5E)=n,所以(1)成立。
(2) 由(1)的证明可知，r(A-E)与r(A+4E)分别是A的属于特征值1与-4的线性无关特征向量的个数，从而A共有n个线性无关的特征向量，故A可以对角化。
(3) 由(1)可知,A的特征值只能是1或-4，故行列式|2A+3E|¹0，故2A＋3E可逆(此步论证可以省略,见下).由
0=A2+3A-4E=2(A2+3A-4E) =(2A+3E)(A+3E/2)-17E/2,
所以
(2A+3E)(A+3E/2)=17E/2;
因此
(2A+3E)-1=2(A+3E/2)/17 =(2A+3E)/17.
例37(1995) 设三阶实对称矩阵的特征值为-1,1,1.对应于1的特征向量为(0,1,1)¢,求A.
解:
当l=9时,只有一个独立方程(取第二行即可:2x+2y+4z=0,可得两个线性无关的特征向量:a=(-1,1,0),b=(-2,0,1);当l=3时,有两个方程,但第一个表明x=0.后一个方程表明y=z,所以g=(0,1,1).搞掂!
例34(2002) 设A,B为同阶方阵,
(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等.
(2)举一个2阶矩阵的例子说明(1)的逆命题不成立.
(3)当A,B均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
解这样容易的题目也就只有在线性代数中可能遇到了:因为只有线性代数是智慧,其余都是苦力.
(1)不用写出来了吧?
(2)同上句话.
(3)这是唯一值得写一下的.设A,B均为实对称矩阵,则它们均可以对角化.因为它们的特征多项式相同,从而具有相同的特征值,因此相似于同一个对角矩阵.但相似性是等价关系,故它们相似.Ok.
例35 设4阶矩阵A满足条件|A＋2E|＝0,ATA=3E,|A|>0.证明|2A*+9E|=0,其中A*是A的伴随矩阵。
证明只要证明A*有特征值-9／2.由于|A+2E|=0,故A有特征值-2;又因为ATA=3E,｜A|>0,所以|ATA|=|3E|＝34.但|ATA|＝|AT||A|＝|A|2,所以,|A|＝9.因此A*有特征值-9／2. Ok.
例36设A 是n阶矩阵,A2+3A-4E=0,证明:
(1)r(A+4E)+r(A-E)=n;
(2)A可以对角化;
(3)2A+3E可逆,并求其逆.
证明因为(A+4E)(A-E)=0,故(A-E)的每一列都是齐次方程组(A+4E)x=0的解，从而是矩阵A的属于特征值-4的特征向量；因此，r(A-E)£n-r(A+4E)，即
r(A-E)＋r(A+4E)£n。
又, r(A-E)+r(A+4E) = r(-A+E)+r(A+4E) ³ r(-A+E+A+4E)=r(5E)=n,所以(1)成立。
(2) 由(1)的证明可知，r(A-E)与r(A+4E)分别是A的属于特征值1与-4的线性无关特征向量的个数，从而A共有n个线性无关的特征向量，故A可以对角化。
(3) 由(1)可知,A的特征值只能是1或-4，故行列式|2A+3E|¹0，故2A＋3E可逆(此步论证可以省略,见下).由
0=A2+3A-4E=2(A2+3A-4E) =(2A+3E)(A+3E/2)-17E/2,
所以
(2A+3E)(A+3E/2)=17E/2;
因此
(2A+3E)-1=2(A+3E/2)/17 =(2A+3E)/17.
例37(1995) 设三阶实对称矩阵的特征值为-1,1,1.对应于1的特征向量为(0,1,1)¢,求A.
解:
四.线性空间/二次型
合同/正交变换/正定二次型/正定矩阵/
例38(2003) 从R2的基a1=(1,0)¢,a2=(1,-1)¢,到基b1=(1,1)¢,b2=(1,2)¢的过渡矩阵为[ ].
合同/正交变换/正定二次型/正定矩阵/
例38(2003) 从R2的基a1=(1,0)¢,a2=(1,-1)¢,到基b1=(1,1)¢,b2=(1,2)¢的过渡矩阵为[ ].
例39 设
求(1)子空间的维数与一组基;
(2)设问x取何值时,bÎ ,求b在(1)中基下的坐标.
解两个问题可以一起解决.构造矩阵并求其标准阶梯形:
所以
(1) 的维数为3,一组基是｛｝;
(2)当x=-71/5时,bÎ ,它在基｛｝下的坐标为
71/15,-11/15,-81/15.
例40已知R3的两组基,
(2)设问x取何值时,bÎ ,求b在(1)中基下的坐标.
解两个问题可以一起解决.构造矩阵并求其标准阶梯形:
所以
(1) 的维数为3,一组基是｛｝;
(2)当x=-71/5时,bÎ ,它在基｛｝下的坐标为
71/15,-11/15,-81/15.
例40已知R3的两组基,
若由基到第三组基的过渡矩阵为 .
(1)求 ;
(2)设向量在基下的坐标为 ,求在基下的坐标.
解 (1)首先，基到基的过渡矩阵为 ,所以
,因此
(2) 由于
(1)求 ;
(2)设向量在基下的坐标为 ,求在基下的坐标.
解 (1)首先，基到基的过渡矩阵为 ,所以
,因此
(2) 由于
故x在下的坐标为 .
例41 设n阶实对称矩阵A满足条件且A+tE是正交矩阵,则t=[ ].
解由于
所以t=3.
例42(2002)已知实二次型
经正交变换x=Py可化为标准形f=6y12,则a=.
例43设 ,则A与B[ ].
A.合同且相似 B.合同但不相似
C.不合同且相似 B.不合同且不相似
例44 已知二次型
通过正交变换可以化为标准形 ,求参数a以及所用的正交变换.
解二次型的矩阵为，而A的特征值为7，7，－2，所以a+a+6=7+7-2=12,即a=3.
对应于特征值7的特征向量满足方程
，
即，故为两个线性无关的特征向量,单位化,正交化可得
;
对应于特征值-2的特征向量满足
,
即 ,即 ,故得 ,单位化得 .
令，则所用正交变换为X=QY.
例45(1999) 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m´n实矩阵,证明:B¢AB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n.
证明充分性.关于正定性的证明有多种方法.比较直接的办法是用定义,即证明对任意非0向量x,均有x¢B¢ABx>0.此即(Bx)¢A(Bx)>0.由于A正定,故上式成立只须Bx¹0.但r(B)=n,故Bx=0只有零解,而x¹0,从而Bx¹0.证明完成了吗?没有!因为正定矩阵的前提是对称矩阵:(B¢AB)¢=B¢A¢B=B¢AB.
必要性.欲证明r(B)=n,只须证明Bx=0只有零解,只须证明对任意x¹0,均有Bx¹0.现设x¹0,则由于B¢AB正定,故x¢B¢ABx>0,即(Bx)¢A(Bx)>0,因此Bx¹0.Ok.
间接的方法需要对正定矩阵更多的了解.一个n阶矩阵A正定当且仅当存在列满秩矩阵Mm´n使得A=M¢M.对本题而言,由于A正定,故
B¢AB=B¢M¢MB=(MB)¢(MB).
由于M列满秩,r(MB)=r(B).所以B¢AB正定当且仅当MB列满秩当且仅当B列满秩.
例46(1997) 设B是秩为2的5´4矩阵, a=(1,,1,2,3)¢, b=(-1,1,4,-1)¢, g=(5,-1,-8,9)¢是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.
解:
例47(1996) 已知二次型
的秩为2,问表示何种曲面?
(c=3;特征值为0,4,9.)
例48(1998) 已知二次曲面方程
可以经过正交变换
化为椭圆柱面方程 .求a,b和正交矩阵P.
解(a=3,b=1)
例41 设n阶实对称矩阵A满足条件且A+tE是正交矩阵,则t=[ ].
解由于
所以t=3.
例42(2002)已知实二次型
经正交变换x=Py可化为标准形f=6y12,则a=.
例43设 ,则A与B[ ].
A.合同且相似 B.合同但不相似
C.不合同且相似 B.不合同且不相似
例44 已知二次型
通过正交变换可以化为标准形 ,求参数a以及所用的正交变换.
解二次型的矩阵为，而A的特征值为7，7，－2，所以a+a+6=7+7-2=12,即a=3.
对应于特征值7的特征向量满足方程
，
即，故为两个线性无关的特征向量,单位化,正交化可得
;
对应于特征值-2的特征向量满足
,
即 ,即 ,故得 ,单位化得 .
令，则所用正交变换为X=QY.
例45(1999) 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m´n实矩阵,证明:B¢AB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n.
证明充分性.关于正定性的证明有多种方法.比较直接的办法是用定义,即证明对任意非0向量x,均有x¢B¢ABx>0.此即(Bx)¢A(Bx)>0.由于A正定,故上式成立只须Bx¹0.但r(B)=n,故Bx=0只有零解,而x¹0,从而Bx¹0.证明完成了吗?没有!因为正定矩阵的前提是对称矩阵:(B¢AB)¢=B¢A¢B=B¢AB.
必要性.欲证明r(B)=n,只须证明Bx=0只有零解,只须证明对任意x¹0,均有Bx¹0.现设x¹0,则由于B¢AB正定,故x¢B¢ABx>0,即(Bx)¢A(Bx)>0,因此Bx¹0.Ok.
间接的方法需要对正定矩阵更多的了解.一个n阶矩阵A正定当且仅当存在列满秩矩阵Mm´n使得A=M¢M.对本题而言,由于A正定,故
B¢AB=B¢M¢MB=(MB)¢(MB).
由于M列满秩,r(MB)=r(B).所以B¢AB正定当且仅当MB列满秩当且仅当B列满秩.
例46(1997) 设B是秩为2的5´4矩阵, a=(1,,1,2,3)¢, b=(-1,1,4,-1)¢, g=(5,-1,-8,9)¢是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.
解:
例47(1996) 已知二次型
的秩为2,问表示何种曲面?
(c=3;特征值为0,4,9.)
例48(1998) 已知二次曲面方程
可以经过正交变换
化为椭圆柱面方程 .求a,b和正交矩阵P.
解(a=3,b=1)
综合题型
例49 设A为r阶方阵,B为r×n矩阵, r(B)=r,且AB=0.证明A=0.
证明因为r(B)=r,故r(BT)=r.所以齐次线性方程组BTx＝0只有0解.但已知AB=0,故BTAT＝0,所以AT的每列均为BTx＝0的解,从而AT＝0,即A＝0.
例49 设A为r阶方阵,B为r×n矩阵, r(B)=r,且AB=0.证明A=0.
证明因为r(B)=r,故r(BT)=r.所以齐次线性方程组BTx＝0只有0解.但已知AB=0,故BTAT＝0,所以AT的每列均为BTx＝0的解,从而AT＝0,即A＝0.
例50设A是m´n矩阵，B是n´s矩阵,证明：方程组ABX=0与BX=0同解的充要条件是r(AB)=r(B).
证明若两方程组同解,则系数矩阵的秩必相等;反之,若系数矩阵的秩相等,则它们的一个基础解系所含向量个数相等,但由于后者的解总是前者的解,从而它们同解.
例51(1994) 设A为非0实数矩阵,A*与A¢分别是A的伴随矩阵与转置矩阵.设A*=A¢,证明A可逆.
证明我们希望证明|A|¹0. 对于A*与A¢,我们知道多少? A*由不仅容貌超群(她头上戴着一朵花!),而且和逆矩阵关系密切,所以我们都记得A*A=|A|E. 因此A¢A=|A|E. 故若|A|=0,则A¢A=0. 这在什么时候成立? 为回答此问题, 需要看清A¢A的长相. 故将A按列分块,设 ,则 ,故
故其主对角元素均为A的列向量的长度的平方.现在A为非0实矩阵,故至少有一列不为0,从而A¢A¹0.于是|A|¹0.(所以本题的实质是A¢A=0当且仅当A=0.)
证明若两方程组同解,则系数矩阵的秩必相等;反之,若系数矩阵的秩相等,则它们的一个基础解系所含向量个数相等,但由于后者的解总是前者的解,从而它们同解.
例51(1994) 设A为非0实数矩阵,A*与A¢分别是A的伴随矩阵与转置矩阵.设A*=A¢,证明A可逆.
证明我们希望证明|A|¹0. 对于A*与A¢,我们知道多少? A*由不仅容貌超群(她头上戴着一朵花!),而且和逆矩阵关系密切,所以我们都记得A*A=|A|E. 因此A¢A=|A|E. 故若|A|=0,则A¢A=0. 这在什么时候成立? 为回答此问题, 需要看清A¢A的长相. 故将A按列分块,设 ,则 ,故
故其主对角元素均为A的列向量的长度的平方.现在A为非0实矩阵,故至少有一列不为0,从而A¢A¹0.于是|A|¹0.(所以本题的实质是A¢A=0当且仅当A=0.)
应试策略:合理安排,先易后难,先简后繁.一般来说,选择题最容易,填空题次之;计算题较容易但繁琐,而证明题较难但简洁.所以应首先处理选择题,再做填空题,再比较计算题和证明题,如果证明题会做,则在做计算题之前先作证明题是一个不错的选择.不过这些办法因人而异.
具体原则:
l 不要在某道选择题或填空题上停留太多时间;
l 除行列式的计算外(很少可能),所有计算题应该用较简单的方法作出;换句话说,如果计算太繁,那是你自己已经出错了;
l 证明题卡壳时,回过头去检查别的题;
l 留出30分钟做检查.
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