解放军文职招聘考试第八章 多元函数微分法及其应用

 

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(3) 

 

                   

 

 

例1． （08年期末考试，七，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。

例2． （08年期末考试，十一，6分）设是由方程所确定的函数，其中可导，求。

例3． （07年期末考试，八，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。

例4． （06年期末考试，一、1，3分）设，可导，则（  ）。

例5． （04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明。

例6． （03年期末考试，三、2，5分）设具有连续偏导数，证明方程所确定的函数满足。

例7 记，具有连续二阶偏导数，求，。

例8 设，而，，求和。

例9 设，而，，则。

例10． 设，又具有连续的二阶偏导数，求。

 

2．一阶全微分形式不变性：

设，则不管是自变量还是中间变量，都有

² 通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。

² 当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。

例1．设其中都可微，求。

 

五、隐函数的求导法则

1、，求

   方法1（直接代公式）：，其中：，相当于把F看成自变量x，y的函数而对x求偏导数。

   方法2：直接对方程两边同时关于x求偏导（记住）：

 

2．，求

方法1（直接代公式）：

方法2：直接对方程两边同时关于x（y）求偏导（记住）：

，

 

3．

建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数的二元方程组，得到。同理可求得。

例1．设，其中是由确定的隐函数，求。

例2．设有隐函数，其中F的偏导数连续，求。

例3．（04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明

 

六、多元函数微分学的几何应用

1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线，两曲面交线

切线向量

 

切线向量

 

  切线向量

 

3、 曲面的切平面与法线方程（两种形式）——隐函数，显示函数

法线向量

 

法线向量，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：

 

例1（08年期末考试，一、2，4分）曲线在点(a,0,0)的切线方程  

例2（08年期末考试，十、7分）在曲面上求出切平面，使得切平面与平面平行。

例3（07年期末考试，二、5，3分）曲面在点(1,2,0)处的法线方程。

例4（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭圆的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。

例5（06年期末考试，二、3，3分）曲面在点(0,a,-a)处的切平面方程。

例6（04年期末考试，三、3，7分）在球面上求一点，使得过该点的切平面与已知平面平行。

例7. 在曲线，，上求点，使该点处曲线的切线平行平面。

例8设具有一阶连续偏导数，且，对任意实数有，试证明曲面上任意一点处的法线与直线相垂直。

例9 由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，）处指向外侧的单位法向量，

 

七、方向导数与梯度

1、方向导数的概念和计算公式

在沿方向的方向导数为：

① 设为上一点，则

② 设的方向余弦为：，则

可微方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系

 

2、梯度的概念和计算公式

   在沿什么方向的方向导数最大？

沿梯度方向的方向导数最大，最大值为梯度的模

 

例1．求函数在点沿曲线在点 处的切线方向的方向导数。

例2．求函数在点（2，1）沿方向的方向导数

例3．设函数，（1）求出f在点P（2，0）处沿P到Q（1/2，2）方向的变化率；（2）f在P（2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？

例4 （08年期末考试，一、4，4分）函数在点处沿从到点方向的方向导数。

例5（07年期末考试，二、4，3分）函数在点处沿方向的方向导数。

例6（06年期末考试，四、7分）函数在点处的梯度及沿梯度方向的方向导数。

 

八、多元函数的极值及其求法

1、掌握极值的必要条件、充分条件

2、掌握求极值的一般步骤

3、掌握求条件极值的一般方法——拉格朗日乘数法

例1．求函数的极值。

例2（04年期末考试，三、3，6分）．设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？

例3． 求旋转抛物面与平面之间的最短距离。

例4 （08年期末考试，六、7分）求在约束下的最大值和最小值。

例5（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭球的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。

例6（06年期末考试，五、8分）做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？

例7（03年期末考试，八、10分）求曲线上距原点最近和最远的点。