解放军文职招聘考试连续函数的局部性质

 一、连续函数的局部性质：
如果，则称函数在处连续。
注1：函数在处连续，那么，这说明如果函数连续，那么函数运算与极限运算可以交换，这是在极限运算中用到的一种技巧。
注2：函数在处连续，则；
注3：函数在处连续充要条件是：当时，有；当时，我们取，我们得到存在，当时，有，于是当时，，和，从而得到连续函数的保号性质。
注4：函数在处连续充要条件是.
利用这个等价定义，我们可以处理分段函数中的题目。
与连续概念相反的定义是间断点：函数的间断点只在以下几种情形下才可能发生：
a. 函数在点无定义，如：在点无定义；
b. 函数在点的极限存在，也就是都存在且相等，当极限不等于. 如： 在的左右极限存在，但极限不等于1.
c. 都存在但不相等，如：
d. 中至少有一个不存在。
我们把(b)这种情形的间断点称为可去间断点，将(c)情形的间断点称为跳跃间断点，将(b),(c)这两种情形称为第一类间断点，将(d)的情形的间断点称为第二类间断点。
24、设为上正值连续函数，令. 证明：
.
证明： 由于在上，于是，其次由闭区间上的连续函数的性质知道存在，使得，因此对任意的，存在一个包含的闭区间，使得在上，于是，，所以由的任意性知道，由夹逼定理知道
25、设函数在x=0处连续，下列命题错误的是  （2007）
1. 若，则
2. 若存在，则    
3. 若存在，则存在
4．   若存在，则存在 
分析：此题考察函数连续的定义和导数的定义。
解：由连续的定义和导数的定义，我们可以看到1,2,3 正确，对4，我们令，可以看到结论不对。
26、设函数在x=0处连续，且，则 （2006）
（1） 且存在     （2）且存在
（3）且存在       （4）且存在
分析：此题考察连续的定义及左右导数的定义。
解：从连续函数定义可以看到（1）（3）正确，从左右导数定义看（3）（4）正确，所以选择（3）
27、设,则   （2005）
（1）是的第一类间断点          （2）是的第二类间断点
 （3）是第一类间断点，是第二类间断点  （4）是第二类间断点，是第一类间断点
分析：此题考察间断点的定义和分类。
解：函数在0,1处无定义，因此都是间断点，但是不存在，因此选择（4）
28、设，则函数在点连续 （2004）
分析：此题考察连续函数的定义和罗必塔法则。
解：
29、设在上连续，且存在，令，则
（1）是的第一类间断点     （2）是的第二类间断点
（3）是的连续点           （4）是的连续点与的值有关。
分析：此题考察连续的定义及间断点的分类。
解：存在，只能选（3）（4），但是（3）不可能，只能选（4）
30、设，则的间断点  （2004）
分析：此题将极限与函数的间断定义放在一起加以考察。
解：，所以间断点为
31、设，其导函数在连续，则的范围是（2003）
分析：此题考察函数的导数定义和连续的定义。
解：我们看到，所以要是在点可导，必须是，此时因此
，要使得在０连续，必须使得
==0，所以只有
32、设函数，问为何值时,(1) 在连续 （2）是的可去间断点。（2003）
分析：此题考察连续和间断的定义，尤其是可去间断点的定义。
解：
，

，
于是，于是，解子得到：。
当时，，此时在0点连续；当时，， 此时0点是的第一类间断点。
33、设在连续，则（2002）
分析：仍然是利用函数的极限等于函数值来说明连续。
解：由于函数在连续，于是。
二、连续函数的整体性质（闭区间上的连续函数的性质）
我们知道连续函数的图像是平面上的一条连绵不断的曲线，因此只要将连续函数的两个端点限制好，那么连续函数就应当具有以下的性质：
定理1、（有界性）如果在上连续，那么在有界。
也就是：如果在上连续，那么一定可以找到使得
定理2、（最值定理）如果在上连续，则在上取到（达到）最大、最小值。也就是 能够找到，使得
定理3、（介值性定理）如果在上连续，，则对任意的，存在一个使得 。
定理4、（零点存在定理）如果在上连续，，则存在一个使得 。
这几个定理的结论和条件务必要牢记，这是考试的重点和难点，同时这四个定理也是高等数学中其他定理的基础。
34、证明：（1） 方程 在区间仅有一个实根。
          （2）设上面方程的根为，证明存在，并求此极限。（2012）
分析：这个题目的（1）是典型的应用零点定理证明的题目。（2）的问题是利用单调有界原理来证明。
证明：令，在上连续，因此有零点定理知道存在一个，使得，因此方程 在区间至少有一个实根。假定方程在有两个实根，不妨设，也就是，由于在上连续，在可导，因此由罗尔中值定理知道存在一个，使得而矛盾，于是只能有一个根。
（2）的证明如下：
我们知道，由于于是，因此有单调有界原理知道存在，设极限为，由于，于是，在两边同时取极限，我们得到，我们得到
35、求方程不同实根的个数，为实参数。（2011）
分析：仍然是利用零点定理。
解：令，为奇函数，只要考虑在上根的情况。，当时，，此时在上无根。当此时在单调增加，，在单调减少，且，于是在上有一个实根。所以当时，有一个实根，当时，有三个实根。
 36、证明：恰好有一个实根。（2010）
分析：利用零点定理。
证明：令 ，在区间上连续，，，因此由零点定理，我们得到在至少有一个根，，因此至少有2个实根，由于，于是在单调递减，在单调递增，因此只能有2个根。
37、当为何值时，恰好有两个零点。（2005）
分析：要使得恰好有两个零点，只要使得这个函数的有一个极大值，极大值大于0，右边的极大值为函数的重零点。
解：，因此必须使得于是，于是
38、设，试补充，使得在上连续。
分析：利用在端点连续的性质。
解：由于

于是定义，则在上连续。
39、证明：在上有界。
分析：在连续，但是不是有界闭区间，因而不能利用定理，我们看到，利用极限的有界性，我们可以得到在无穷远处有界，在有限部分可以利用连续函数的性质。
证明：由于，于是存在一个当有，由于在上连续，于是在上有界，于是存在，对任意的，有，于是在上，所以在上有界。
40、 判断下列论述是否正确，并说明理由：
（1）在的每一个闭子区间上有界，则在有界；
（2）在的每一个闭子区间上连续，则在连续；
（3）在的每一个开子区间上有界，则在有界；
（4）在的每一个开子区间上连续，则在连续.
解（1）不正确.  如.
（2）正确.  ，使，由条件知在连续，由的任意性知结论正确.
（3）正确. ，由条件知在有界，记为其一个界，取，则为在上的一个有界.
（1）不正确.  如函数
函数.
41、（西安电子科技大学）设函数在连续，记为三者居中的一个，证明：在连续.
证  事实上，可表为

显然是连续的.
42、（湖北大学）设函数在上连续，且. 证明：，有
.
  分析：利用介值性定理。
证  当时，取，则结论成立. 否则令，则有
.
若此式中每项均为零，则结论已成立；若不全为零，则必有正有负，由零点定理立明.
43、（华中科技大学）设函数在内连续，，证明： ，使得

分析：利用介值性定理。
     证  在内连续，则在上连续，从而在上存在最大最小值，记
，
则
，
由连续函数介值定理知，，使得

44、（华中师大，西安交大，北京交大，国防科技大学）设在上连续，且 又.  证明：
        （1）；
        （2）在内有且只有一个根.
分析：（1）利用导数的定义，（2）利用零点定理
        证（1）由得

（2）由得由零点定理知，存在，使得

由（1），因此零点唯一。
45、（曲阜师大2000）设函数在R连续，且对任何有理数r，有证明：
分析：利用连续函数的定义。
证明： 对，存在一列有理数，使得，于是由连续函数的定义知道 。
46、设为整数，
.
证明: 方程在内至少有一个根.
   分析：利用连续函数的介值性定理。

证明：由于在中连续，且，另一方面，当时，