名师案例别停下，再往前走一步——我教“长方体体积的计算” 别停下，再往前走一步——我教“长方体体积的计算”

   惑——由思而起

     在五（7）班上了“长方体的体积计算”（苏教版第十册数学第16～18页），感觉学生先前就已经知道了体积的公式（我的学生喜欢数学课，已经有主动预习的习惯），但对公式的理解还比较表浅，似乎只关心公式本身，而对公式的形成过程，对公式的内在含义的理解漠不关心。但学生不关心的这些内容实际上却是最需要掌握的，它是体现数学诸多特性的一个载体，通过这个载体能够让学生在内心整体构建知识体系，并从这个体系中获得更大的价值。

     怎样才能立足于学生的已知，打破学生不合理的思维定势，激发起学生思维的灵动呢？

     动——我决定了

     来到五（3）班，简单的问好之后，我询问了学生上节课的内容：体积是指什么？体积的单位有哪些？学生对答如流。我又接着问他们，体积是4立方厘米的正方体里含有多少个体积是1立方厘米的小正方体，他们说有4个。我问，那体积是6立方厘米、8立方厘米呢，这说明了什么呢？学生说，几立方厘米里就含有几个1立方厘米的小正方体，体积是多少就表示含有多少个体积单位。

     然后，我问他们今天我们应该教哪一内容，全班居然集体回答——长方体的体积。我问他们，这一内容看过书了吗？会了吗？他们大声告诉我，长方体的体积等于长乘宽乘高。高声透露了他们的得意。我在黑板上写下了：长方体的体积=长×宽×高。接着再和学生对话。

     师：这些，你们都会了吗？

     生：会了。

     师：那好，我们今天的课就上到这里，总共用时4分钟。

     生面面相觑，有人已经发出了抗议：就这样就学完了，不可能吧，太简单了。

     我不发话，静观其变。

     生：还有一个知识没有教呢？

     师：什么？你说说看。

     生：V=abh。

     师：这是长方体体积计算的字母公式。

     (解释公式，并让学生读几遍)

     师：这样总行了吧，学了文字表达的公式和字母公式，今天的内容总该完成了吧？

     生：不行，我们还没有练一练呢？

     师：好，依你们的，练一练，请口头计算下列长方体的体积。

     学生全部计算正确。

     师：总可以算学完了吧。

     生总觉得有些问题，但又提不出来，他们认为课不应该这样上。

     师：你们真学会了吗？你们真没有想法了吗？

     生无言。

     师：那好，我来向你们请教。请问，为什么长方体的体积等于长乘宽乘高呢？

     学生们一楞，随即陷入了深深的思考中。有的学生托腮沉思；有的学生埋头在纸上画画写写；有的学生打开了书本，在书上寻找答案；还有的学生在轻声和别人交流。

     五分钟后，喜悦映在了他们的脸上，小手如林，个个跃跃欲试。

     学生们发表了自己的观点。从学生们的发言中可以发现，一小部分学生已经确切地知道了长乘宽乘高是长方体体积的原因，另一小部分的学生只能把从书上看到了操作过程重新复述了一遍，还无法深刻理解内涵，还有近乎一半的学生“糊里糊涂”。

     据此，我说：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，我们能否实际操作操作呢？”

     我要求他们四人组成一小组，给每个小组发了一个透明的塑料长方体和6个体积是1立方分米的正方体。然后告诉他们，长方体从里面量长是3分米，宽是2分米，高是4分米。最后要求他们用小正方体量出长方体的体积，并说明长方体的体积为什么是长乘宽乘高的？

     学生合作操作后，开始汇报。（学生的发言很积极，重复的也很多，现选择有层次的3位学生的发言）

     生1：我们小组通过摆小正方体发现，长3分米可以摆3个1立方分米的正方体，宽2分米可以摆2个，高4分米可以摆4个，3×2×4=24，所以长方体的体积是24立方分米。

     生2：实际上可以这样想，长摆3个，每排是3个；宽摆2个，是2排，这样，每层就有6个。高摆了4个，就表示有这样的4层，每层6个，4层就是24立方分米。

     生3：概括地说，就是长有几分米就表示每排有几个，宽有几分米就表示有这样的几排，高有几分米就表示有这样的几层，3个量相乘就能算出里面有多少个体积单位，就是多少立方分米了。

     当这位学生说完后，我没有发表任何的意见，课堂内静静的。这位学生的发言太精彩的，我想留出空白，让其他的学生品一品这位学生的发言。学生们在这安静的氛围中深思。片刻，学生们大都想明白了，开始和小组内的成员议论着刚才的发言。

     “那么现在有谁能告诉我，为什么长乘宽乘高等于长方体的体积了吗？”我问。

     生1边比划着教具边说：因为长有多少就相当于一排有几个体积单位，宽有多少相当于有多少排，高有多少就相当于有多少层，每排的个数乘多少排再乘多少层就能算出体积的多少，也就是长乘宽乘高。

     生2、生3……重复了生1的发言。

     从学生的概括中，我知道，学生对于体积的意义已经了解到位了，但我还准备将他们一军。

     师：那你们在上课前有没有思考过这样的问题呢？这给我们什么启示呢？

     生1：我只是知道了公式，以为自己会了，没有去想为什么。我以后要多想一想。

     生2：我没有看书，只是听别人这样说，后来我看了看书，发现书上讲得很清楚，所以我以后要多看看数学书。

     生3：我以后一定要多想想原因，不能只要结果。

    当我还准备进行一些简单的巩固练习时，铃声响了，我只得停止我的教学。

    止——心如潮！

     教学过程停止了，但对这节课的思考却远没有停止……

     ⑴一种深度

     这一内容的教学，如果仅仅关注公式这一知识点的话，那么教师完全可以根据书中的编排，依葫芦画瓢得出体积的计算公式。但这样的教学总让人有种隔靴搔痒，不得其理的感觉。学生对此内容究竟该深入到什么程度呢？我认为，学生应该明确知道长方体体积为什么是长乘宽乘高的，也就是运用每排几个、几排、几层这些能够概括三维空间的词来清晰的表示出体积，从而抽象出体积公式。然而，要使学生达到这样的程度，并不是件简单的事。学生在此之前，应对平面图形的面积大小的含义、图形面积的形成原因有深刻的了解。对平面图形的了解便于学生在解决立体图形时能够寻找到解决的方法。

     再次，在教学体积单位时，学生应该深刻理解“物体的体积是多少，就表示含有多少个这样的体积单位”，这也是学生能够理解长方体体积的基础。有了这两个基础，学生顺利地理解体积的意义就成为可能。当学生理解之后，实际上，学生对面积单位、面积计算、体积单位、体积计算就可以有一个系统的认识，就可以构建一个知识网络，从而更深刻地巩固旧知识，更容易地应对新难题。同时，在构建的过程中，学生也将感受到数学的演绎推理、数学的概括抽象。

     ⑵一类模式

     当一节课只有一个大的知识点，而学生大都已经知道了这个知识时，我们的课堂教学该如何进行呢？如果不考虑学生的已知，仍然一步一环节地得出公式的话，那么学生参与的兴趣将减少，效果将减弱。与其这样，何不顺其自然，由果寻因。既然知道体积的计算公式，那么就说一说，说完后，课堂的重点便落在了寻找公式成立的原由上。这样，学生的注意将由自己已知的问题过渡到了未知问题上，兴趣提高了，效果明显了。

     ⑶一些习惯

     这节课在完成知识教学的同时，也涉及到了对学生一些习惯的渗透及培养：

     学生读数学书的习惯：数学书应该让学生读，而且应该养成习惯。数学书与学生的亲密接触，使学生的学习不再依赖教师的讲解，使独立学习成为可能。

     学生知其所以然的习惯：仅仅知道结论是不能止步的，更重要的是让学生养成追根究地的习惯，在追其本源的过程中使学生学会学习。

     学生提问的意识：学生为什么大都只认公式，而对公式的形成过程熟视无睹呢？提出一个重要的，但学生先前并没有感觉到的问题，这将在学生的心里产生一个落差，使学生感受到自身问题意识的薄弱，同时也促使学生更加善于发现、善于提问。

    诚然，本节课所承载的这些习惯的培养只能算是开始，以后的路还长着，继续前行！

   点评一：这一堂课的意义 张齐华

     坦率地讲，这是一节普通得不能再普通的“随堂课”。一路读来，亲切得就像是自己每天的课堂一般，素面朝天、平朴无奇。然而，正是这份朴素让我不禁有些诧异：这朴素之外，或朴素之后，究竟是什么力量将我深深打动？细数这一课堂，家常的教学内容，日常的教学情节，没有动人心魄的情境预设，没有高潮迭起的师生对话及精彩生成，甚至于，就连描述课堂场景的语言都是那样随意、淡然。然而，它又的的确确是一堂值得我们深思、琢磨的课。只不过，我是在第三次“重读”它的时候，才慢慢品出“这一堂课”的味道的。也正是从那一刹那，我开始被它所折服并深深撼动，并坚信，这是我所接触过的教学案例中十分精彩的一个。

     首先，精彩源自于它的真实。

     学生“已经知道了体积公式”，怎么办？这样的境况几乎每天都在我们的课堂上“上演”。说实话，我们拥有太多的“招数”去应对：有时是步步设问、层层紧逼，直到他们在新的困难前就范，再乖乖地重新回到“零起点”上开始所谓的探索与研究；有时是置若罔闻，并美其名曰，“个别学生的发现不能代表全班学生的整体水平，无需太在意，可以先悬置处理”……

     然而，在张楼军老师的课堂里，面对同样的情况，我们却看到了一种更为平实、也更加坦荡的处理。不作任何回避，明知山有虎，偏向虎山行。开门见山便问，“这些，你们都会了吗？”“那好，我们今天的课就上到这里，总共用时4分钟。”学生面面相觑后，提出“不行，我们还没有练一练”时，教师又顺其自然，提出“好，依你们的，练一练，请口头计算下列长方体和正方体的体积。”一切是那样的水到渠成，我们几乎找不到任何刻意雕琢的痕迹。但是，恰是透过这些平实的话语，我却分明触摸到了教师的一份恬淡的自信，一种基于对学生学习起点准确把握、充分理解后的自信，一份对学生学习需要充分尊重基础上的豁达。因为张老师清楚地知道，学生已经掌握了些什么，掌握到了什么程度，以及他们现在最需要些什么。而且他更知道，应该为学生创造机会，让他们先表达出来。因为，唯有如此，学生才会在“山穷水尽”的困惑之后，重新思考“我究竟掌握了多少”、“我是否还需要作些深入的探讨”等，更高起点上的学习需求才会在困惑中生成。而这恰恰是张老师的高明之处。

     果不其然，困惑后的探索活动中，我们看到了学生的高涨的探索激情。而这，正是学生需要满足、困惑生成后的必然选择。

     真实还表现在大量细节之中。在这一份教学案例里，这样的话语随手拈来，“学生的发言很积极，重复的也很多”“生2、生3……重复了生1的发言”“当我还准备进行一些简单的巩固练习时，铃声响了，我只得停止我的教学”等等。恕我直言，在许多经典的教学案例中，类似的话语都被我们省略掉了。因为这样的话语中实在没有透露出任何新的课程或教学理念，甚至有些还土得掉渣。然而，我们必须承认，这些话中描述的现象的的确确真实地存在于我们的课堂之中。因为存在，所以必有价值。而且，无论是从数学教学的角度，还是从一般意义上的学科教学的角度，类似的“重复”，类似的“停止”都传递着更为普遍的教育学意义，值得我们深思。

     其次，精彩还源自于它的深刻。

     深刻表现在教师开阔而精准的数学教学视野。

     先说开阔。张老师从本课堂中读出了一般人难以体会到的关于“体积单位、体积计算”与“面积单位、面积计算”之间丰富、内在的联系，从而为学生构建新知找到了一条新的知识脉络和可能途径。

     再说精准。体积大小的本质在于其所包含的体积单位的个数，张老师深谙此道，并且一开始就花大力气安排了相关的针对性问题引导学生思考，可谓匠心独运。再如，简单的体积公式探索与交流，张老师竟然安排了三个层次，第一层次，学生或探索、或看书，研究出结果，并展开交流；第二层次，学生操作学具，探索公式，并展开交流；第三层次，学生静思默想，回味别人精彩的发言，再作交流。每一次新的探索与交流，都是对前一层次的提升与深化。而事实上，这里恰恰体现了知识建构的复杂性，张老师精准的教学理论功底由此可窥一斑。

     深刻还表现在学习策略向方法论上的自然提升。

     结尾处，我们读到了这样的文字：“从学生的概括中，我知道，学生对于体积的意义已经了解到位了，但我还准备将他们一军。”“那你们在上课前有没有思考过这样的问题呢？这给我们什么启示呢？”掩卷深思，这一环节的意义在哪儿？是学生元认知水平的启迪与提升，还是学生学习方法的指导，抑或是对学生认识论、方法论的启蒙？似乎都有，似乎还不止于此。

     最后，作为补充，笔者以为，它的精彩更源自于，为我们打开了另一扇读解“课堂案例”的窗户。我以为，从这一堂课，或许准确地说，从这堂课凝固下的文字中，我找到了自己一直追求的理想的“教学案例”。

     原来，并非只有公开课，或者说是成功的一堂课才可以成为一份“教学案例”。家常的数学课常常会因其朴素、自然，而留给我们更多值得关注的真实细节。因为没有粉饰，所以原汁原味，也才会给读者留下更多值得深入研究的真实的“点”。也正因为家常，所以对于我们每一位教师的日常教学实践与研究才会具有着更为迫切、更具针对性的指导意义与实践价值。而这些，在许多公开课中，尤其是沉淀了大量“实践研究共同体”集体智慧的公开课里，是很难寻觅的，因而弥足珍贵。

     有人说，一堂好课带给我们的，不应该仅仅是这节课本身，它更应该给我们留下更多的思索，以及更多回味、冥想的余地。

    我以为，这一堂课正如此。

    点评二：精彩源于困惑 华应龙

     柏拉图曾说：“惊讶，这尤其是哲学家的一种情绪。除此之外，哲学没有别的开端。”观摩了张老师精彩的《长方体的体积计算》，我要说：“课堂教学的精彩源自于老师和学生的困惑。”老师的困惑，带来的是具有突破意义的创新，课堂教学是一种有意义、有价值、有兴味的活动；学生的困惑，展现的是“教是因为需要教”的理念，一切为了学生的发展。

     张老师与我们大部分数学老师一样，教着两个平行班的数学。难能可贵的是张老师困惑起了学生的“漠不关心”，从而使他在教第二个班时确立了“立足于学生的已知，激发起学生灵动的思维”的教学追求。因为有了这份追求，张老师让学生知无不言，言无不尽。在学生困惑了，山穷水复之际，张老师提出了苏格拉底式的问题：“为什么长方体的体积等于长乘宽乘高呢？”催生了学生有价值的探究。再根据大部分学生初步探究的困惑状况，老师指点迷津：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。我们能不能运用实物操作操作呢？”让学生自求自得。纵观整节课，“不愤不启，不悱不发”。诚如程颐老先生感慨的：“盖不待愤悱而发，则知之不固；待愤悱而后发，则沛然矣。”

     细细品味张老师的提问:“这些，你们都会了吗？”“那么现在有谁能告诉我，为什么……”在学生对于体积公式的理解已经到位后，“那你们在上课前有没有思考过这样的问题呢？这给我们什么启示呢？”……我们或许能够领悟“好的教育”之道：“善问者如攻坚木：先其易者，后其节目；及其久也，相说以解。不善问者反此。善待问者如撞钟：叩之以小者则小鸣，叩之以大者则大鸣；待其从容，然后尽其声。不善答问者反此。此皆进学之道也。”（《礼记·学记》）特别是最后一问——“那你们在上课前有没有思考过这样的问题呢？这给我们什么启示呢？”，棋高一着，体现了教者育人意识的高度自觉。

     回顾张老师“别样的课堂”，就像在回味王安石那脍炙人口的著名游记《游褒禅山记》：“入之愈深，其进愈难，而其见愈奇。”

     赞叹之余，我们应当追问：张老师为什么能够在第二个班上出如此精彩的“家常课”？

     宇宙间，花开花落，春生夏长，秋收冬藏，充满奥秘。只要我们保有一颗鲜活敏感的心灵，不断地追问下去，问题就会层出不穷，创新也就会连续不断。没有困惑的心理状态，所有的一切都是简单的重复。你就发现不了新的东西，也就将永远生活在一个没有变化、没有发展、毫无新意的世界之中。

     教学是生活的一部分。如果我们老师一直处于“不惑”之年，那么一定是“几十年如一日”，不断重复着昨天的故事。

     新课程对我们教师意味着什么？从某种意义上说，就是一种解放，赋予了我们教师以选择的自由。而选择的前提是我们头脑中确立“好的教育”的标准。袁振国先生指出：“好的教育是相对的，没有最好，只有更好，绝对的、统一的‘好’教育是没有的。好教育不能通过模仿和抄袭而获得，教育是一种创造性的活动，我们只能根据特定的教育目的、教育场景、教育对象、教育任务和教育者自身的条件确定一种相对较好的教育行为方式，选择和创造自己认为好的教育。”

     从张老师的课前反思和“一种深度、一类模式、一些习惯”的课后反思，我们可以看到张老师就是“根据特定的教育对象和教育者自身的条件确定一种相对较好的教育行为方式，选择和创造自己认为好的教育”：尊重学生的已知，引导学生的未知，促进学生的发展。同时，我们还可以看到反思已经成为他良好的教学习惯，持续不断的反思造就了他高质量、高水平的反思。反思源于困惑，反思超越困惑，反思促进发展。“有思就有诗”，让我们共同追求诗意人生。

     陆九渊先生说：“小疑则小进，大疑则大进。”诚哉斯言，张老师“大疑则大进”矣，我有小疑：课始，张老师帮助学生复习，“体积是指什么？体积的单位有哪些？学生对答如流。接着又问他们，体积是4立方厘米的正方体里含有多少个体积是1立方厘米的小正方体……”这是为学生理解长方体体积公式而做铺垫的。为什么要这样安排呢？我们的教学安排是为了教学进展的更顺畅，还是为了学生发展的更顺畅？教师苦心安排了，学生理解老师的这份苦心吗？如果到学生理解长方体体积公式遇到了障碍时，老师再安排这一环节呢？那样的话，学生是否能体会到：要探明某个问题，当从最基本的概念的理解开始？那样的话，学生得到的是否更多？以后的自主学习会有思路，更有方法，从而达到叶圣陶先生“教是为了不教”的境界？