2019年成人高考《数学（文）》章节难点习题(9)

●歼灭难点训练

　　一、选择题

　　1.(★★★★)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(-∞,+∞),那么( )

　　A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10-x+2)

　　B.g(x)= [lg(10x+1)+x],h(x)= [lg(10x+1)-x]

　　C.g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)-

　　D.g(x)=- ,h(x)=lg(10x+1)+

　　2.(★★★★)当a>1时，函数y=logax和y=(1-a)x的图象只可能是( )

　　二、填空题

　　3.(★★★★★)已知函数f(x)= .则f--1(x-1)=_________.

　　4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=

　　ae-nt,那么桶2中水就是y2=a-ae-nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有 .

　　三、解答题

　　5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x-3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x-2a,-y)是函数y=g(x)图象上的点.

　　(1)写出函数y=g(x)的解析式;

　　(2)若当x∈[a+2,a+3]时，恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定a的取值范围.

　　6.(★★★★)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断 [f(x1)+f(x2)]与f( )的大小，并加以证明.

　　7.(★★★★★)已知函数x,y满足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围.

　　8.(★★★★)设不等式2(log x)2+9(log x)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log2 )(log2 )的最大、最小值.

　　参考答案

　　难点磁场

　　解：(1)由 >0,且2-x≠0得F(x)的定义域为(-1，1)，设-1

　　F(x2)-F(x1)=( )+( )

　　,

　　∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.

　　因此F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1，1)上是增函数.

　　(2)证明：由y=f(x)= 得：2y= ,

　　∴f-1(x)= ,∵f(x)的值域为R，∴f--1(x)的定义域为R.

　　当n≥3时，f-1(n)> .

　　用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略.

　　(3)证明：∵F(0)= ,∴F-1( )=0,∴x= 是F-1(x)=0的一个根.假设F-1(x)=0还有一个解x0(x0≠ ),则F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠ ).这是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解.

　　歼灭难点训练

　　一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①

　　又g(-x)+h(-x)=lg(10-x+1).即-g(x)+h(x)=lg(10-x+1) ②

　　由①②得：g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)- .

　　答案：C

　　2.解析：当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a>1时，y=(1-a)x为减函数.

　　答案：B

　　二、3.解析：容易求得f- -1(x)= ,从而：

　　f-1(x-1)=

　　答案：

　　4.解析：由题意，5分钟后，y1=ae-nt,y2=a-ae-nt,y1=y2.∴n= ln2.设再过t分钟桶1中的水只有 ,则y1=ae-n(5+t)= ,解得t=10.

　　答案：10

　　三、5.解：(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x-2a,y′=-y.即x=x′+2a,y=-y′.

　　∵点P(x,y)在函数y=loga(x-3a)的图象上，∴-y′=loga(x′+2a-3a),即y′=loga ,∴g(x)=loga .

　　(2)由题意得x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0; = >0,又a>0且a≠1,∴02a.f(x)=x2-4ax+3a2在[a+2,a+3]上为减函数，∴μ(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上为减函数，从而[μ(x)]max=μ(a+2)=loga(4-4a),[μ(x)]min=μ(a+3)=loga(9-6a),于是所求问题转化为求不等式组 的解.

　　由loga(9-6a)≥-1解得0

　　∴所求a的取值范围是0

　　6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,

　　∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤( )2(当且仅当x1=x2时取“=”号)，

　　当a>1时，有logax1x2≤loga( )2,

　　∴ logax1x2≤loga( )， (logax1+logax2)≤loga ,

　　即 f(x1)+f(x2)]≤f( )(当且仅当x1=x2时取“=”号)

　　当0

　　∴ (logax1+logax2)≥loga ,即 [f(x1)+f(x2)]≥f( )(当且仅当x1=x2时取“=”号).

　　7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax-1)2+(logay-1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内，圆弧(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=-u+k有公共点，分两类讨论.

　　(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得1+ ≤k≤2(1+ );

　　(2)当u≤0,v≤0,即01时，logaxy的最大值为2+2 ，最小值为1+ ;当0

　　8.解：∵2( x)2+9( x)+9≤0

　　∴(2 x+3)( x+3)≤0.

　　∴-3≤ x≤- .

　　即 ( )-3≤ x≤ ( ) 

　　∴( ) ≤x≤( )-3,∴2 ≤x≤8

　　即M={x|x∈[2 ,8]}

　　又f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log22x-4log2x+3=(log2x-2)2-1.

　　∵2 ≤x≤8,∴ ≤log2x≤3

　　∴当log2x=2,即x=4时ymin=-1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0.