必备小升初奥数数论知识点讲解：数的整除

 1、基本概念和符号：

(1)整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

(2)常用符号：整除符号"|"，不能整除符号"";因为符号"∵"，所以的符号"∴";

2、整除判断方法：

(1)能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

(2)能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

(3)能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

(4)能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

(5)能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

(6)能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

(7)能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

3、整除的性质：

(1)如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。

(2)如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

(3)如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

(4)如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

二、例题与方法指导

例1.在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?

解：如果56□2能被9整除，那么

5+6+□+2=13+□

应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;

如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;

如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6=2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除;判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除;如此等等。

例2.在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少?

分析：设补上的三个数字组成三位数是abc，由这个七位数能被2，5整除，说明c=0;由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b能被3整除;再由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除;最后由所组成的七位数应该最小，因而取a+b=3，a-b=1，从而a=2，b=1.进而解答即可;

解答：解：设补上的三个数字组成三位数是abc，由这个七位数能被2，5整除，说明c=0;

由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b能被3整除;

由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除;

由所组成的七位数应该最小，因而取a+b=3，a-b=1，从而a=2，b=1.

所以这个最小七位数是1992210.

[注]学生通常的解法是：根据这个七位数分别能被2，3，5，11整除的条件，这个七位数必定是2，3，5，11的公倍数，而2，3，5，11的最小公倍数是2×3×5×11=330.

这样，1992000÷330=6036…120，因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数，即1992000+(330-120)=1992210.

点评：解答此题应结合题意，根据能被2、3、5、11整除的数的特征进行分析，进而得出结论.