小升初奥数数论奇偶分析要点及解题技巧

 一、基本概念和知识

1、奇数和偶数

全体自然数按照被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被2除余1的属于一类，称为奇数;被2除余0的属于另一类，称为偶数。

特别注意：因为能被整除，所以是偶数;最小的奇数是，最小的偶数是。

2、奇数和偶数的运算性质

性质一：偶数+偶数=偶数（偶数-偶数=偶数）

奇数+奇数=偶数(奇数-奇数=偶数)

偶数+奇数=奇数(偶数-奇数=奇数)

可以看出：一个数加上(或减去)偶数，不改变这个的奇偶性;

一个数加上(或减去)奇数，它的奇偶性会发生变化。

也就是说，两个奇偶性相同的数加减得偶数，两个奇偶性不同的数加减得奇数;

性质二：偶数*技术=偶数（推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数）

偶数*偶数=偶数(推广开就是：偶数个偶数相加得偶数)

奇数*奇数=奇数(推广开就是：奇数个奇数相加得奇数)

可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数;几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数。

性质三：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。

整数的奇偶性事整数的一种重要而有趣的性质，通过对奇偶性的分析可以解决许多与整数有关的数学问题和实际问题，这种方法被称为"奇偶分析法"。

二、例题

例1.甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒;如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒.那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的?

考点：奇偶性问题.

分析：因为李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒.所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子.如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个.否则甲盒子中的黑子数不变.也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数.由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数.所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子.

解答：解;他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，

180+181-1=360(次)

所以拿360次后，甲盒里只剩下一个棋子;

李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数，

由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数，

则甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，

所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子.

答：这个棋子是黑色.

点评：完成本题的关健是明确"李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数"，然后再据数的奇偶性进行解答就行了.

例2.有30枚2分硬币和8枚5分硬币，5角以内共有49种不同的币值，哪几种币值不能由上面38枚硬币组成?

解：当币值为偶数时，可以用若干枚2分硬币组成;

当币值为奇数时，除1分和3分这两种币值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬币组成，所以5角以下的不同币值，只有1分和3分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。

说明：将全体整数分为奇数与偶数两类，分而治之，逐一讨论，是解决整数问题的常用方法。

若偶数用2k表示，奇数用2k+1表示，则上述讨论可用数学式子更为直观地表示如下：

当币值为偶数时，2k说明可用若干枚2分硬币表示;

当币值为奇数时，

2k+1=2(k-2)+5，

其中k≥2。当k=0，1时，2k+1=1，3。1分和3分硬币不能由2分和5分硬币组成，而其他币值均可由2分和5分硬币组成。