一、数字特性
掌握一些最基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。下列规律仅限自然数内讨论。
（一）奇偶运算基本法则
【基础】奇数±奇数=偶数；
偶数±偶数=偶数；
偶数±奇数=奇数；
奇数±偶数=奇数。
【推论】
1．任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
2．任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。
（二）整除判定基本法则
1．能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性
能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；
能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或 25）整除；
能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；
一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；
一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数；
一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。
2．能被3、9整除的数的数字特性
能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。
3．能被11整除的数的数字特性
能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。
（三）倍数关系核心判定特征
如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。
如果x＝mny（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。
如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a±b应该是m±n的倍数。
二、乘法与因式分解公式
正向乘法分配律：(a+b)c=ac+bc；
逆向乘法分配律：ac+bc=(a+b)c；（又叫“提取公因式法”）
平方差：
a² -b²=(a-b)(a+b)；
完全平方和/差：(a±b)²=a²±2ab+b²；
立方和：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；
立方差：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)；
完全立方和/差：(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³；
等比数列求和公式：S=a1（1-qⁿ）/(1-q) (q≠1)；
等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。
三、三角不等式
丨a+b丨≤丨a丨+丨b丨；丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨；丨a-b丨≥丨a丨-丨b丨；-丨a丨≤a≤丨a丨。
四、某些数列的前n项和
1+2+3+…+n=n(n+1)/2；
1+3+5+…+(2n-1)=n²；
2+4+6+…+(2n)=n(n+1)；
1²+3²+5²+…+(2n-1)²=n(4n²-1)/3
1³+2³+3³+…+n³==(n+1)²*n²/4
1³+3³+5³+…+(2n-1)³=n²(2n²-1)
1×2+2×3+…+n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3
五、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：
（1）1n(n+1)=1n-1n+1
（2）1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1)
（3）1n(n+1)(n+2)=12［1n(n+1)-1(n+1)(n+2)］
（4）1a+b＝1a-b（a-b）(a＞0，b＞0且a≠b)
（5）kn×（n-k）＝1n-k-1n
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
六、小数基本常识
(一)需要熟记的一些有限小数
1/2＝0．5，1/4＝0．25，3/4＝0．75；
1/8＝0．125，3/8＝0．375，5/8＝0．625，7/8＝0．875；
1/5＝0．2，2/5＝0．4，3/5＝0．6，4/5＝0．8。
（二）需要熟记的一些无限循环小数
1/3＝0．3·≈0．333，2/3＝0．6·≈0．667，1/6＝0．16·≈0．167，
5/6＝0．83·≈0．833，1/9＝0．1·≈0．111，1/11＝0．09·≈0．0909；
1/7＝0．142857·，2/7＝0．285714·，3/7＝0．428571·；
4/7＝0．571428·，5/7＝0．714285·，6/7＝0．857142·。
（三）需要熟记的一些无限不循环小数
π＝3．14151926…，因此在一些情况下π²≈10。
七、余数相关问题
余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数）
除数：在除法算式中，除号后面的数叫做除数。如：8÷2=4，则2为除数，8为被除数
被除数：除法运算中被另一个数所除的数,如24÷8=3,其中24是被除数
余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数
推论：被除数＞余数×商（利用上面两个式子联合便可得到）
常见题型
余数问题：利用余数基本恒等式解题
同余问题：给出一个数除以几个不同的数的余数，反求这个数，称作同余问题
常用解题方法：代入法、试值法
注意：对于非特殊形式的同余问题，如果运用代入法和简单的试值法无法得到答案，那么这样的题目基本是不会涉及的，考生无需再做特别准备。
八、日历问题
平年与闰年
判断方法一共天数2月平年年份不能被4整除365天28天闰年年份可以被4整除366天29天
大月与小月
包括月份共有天数大月一、三、五、七、八、十、腊（十二）月31天小月二、四、六、九、十一月30天（2月除外）
九、平均数问题
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。公式为：
总数量和÷总份数=平均数；平均数×总份数=总数量和；总数量和÷平均数=总份数。
解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。
十、工程问题
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及工作量、工作效率、工作时间这三个量。
它们之间的基本数量关系：工作量=工作效率×时间；所需时间=工作量÷工作效率
掌握一些最基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。下列规律仅限自然数内讨论。
（一）奇偶运算基本法则
【基础】奇数±奇数=偶数；
偶数±偶数=偶数；
偶数±奇数=奇数；
奇数±偶数=奇数。
【推论】
1．任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
2．任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。
（二）整除判定基本法则
1．能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性
能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；
能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或 25）整除；
能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；
一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；
一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数；
一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。
2．能被3、9整除的数的数字特性
能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。
3．能被11整除的数的数字特性
能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。
（三）倍数关系核心判定特征
如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。
如果x＝mny（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。
如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a±b应该是m±n的倍数。
二、乘法与因式分解公式
正向乘法分配律：(a+b)c=ac+bc；
逆向乘法分配律：ac+bc=(a+b)c；（又叫“提取公因式法”）
平方差：
a² -b²=(a-b)(a+b)；
完全平方和/差：(a±b)²=a²±2ab+b²；
立方和：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；
立方差：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)；
完全立方和/差：(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³；
等比数列求和公式：S=a1（1-qⁿ）/(1-q) (q≠1)；
等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。
三、三角不等式
丨a+b丨≤丨a丨+丨b丨；丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨；丨a-b丨≥丨a丨-丨b丨；-丨a丨≤a≤丨a丨。
四、某些数列的前n项和
1+2+3+…+n=n(n+1)/2；
1+3+5+…+(2n-1)=n²；
2+4+6+…+(2n)=n(n+1)；
1²+3²+5²+…+(2n-1)²=n(4n²-1)/3
1³+2³+3³+…+n³==(n+1)²*n²/4
1³+3³+5³+…+(2n-1)³=n²(2n²-1)
1×2+2×3+…+n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3
五、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：
（1）1n(n+1)=1n-1n+1
（2）1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1)
（3）1n(n+1)(n+2)=12［1n(n+1)-1(n+1)(n+2)］
（4）1a+b＝1a-b（a-b）(a＞0，b＞0且a≠b)
（5）kn×（n-k）＝1n-k-1n
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
六、小数基本常识
(一)需要熟记的一些有限小数
1/2＝0．5，1/4＝0．25，3/4＝0．75；
1/8＝0．125，3/8＝0．375，5/8＝0．625，7/8＝0．875；
1/5＝0．2，2/5＝0．4，3/5＝0．6，4/5＝0．8。
（二）需要熟记的一些无限循环小数
1/3＝0．3·≈0．333，2/3＝0．6·≈0．667，1/6＝0．16·≈0．167，
5/6＝0．83·≈0．833，1/9＝0．1·≈0．111，1/11＝0．09·≈0．0909；
1/7＝0．142857·，2/7＝0．285714·，3/7＝0．428571·；
4/7＝0．571428·，5/7＝0．714285·，6/7＝0．857142·。
（三）需要熟记的一些无限不循环小数
π＝3．14151926…，因此在一些情况下π²≈10。
七、余数相关问题
余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数）
除数：在除法算式中，除号后面的数叫做除数。如：8÷2=4，则2为除数，8为被除数
被除数：除法运算中被另一个数所除的数,如24÷8=3,其中24是被除数
余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数
推论：被除数＞余数×商（利用上面两个式子联合便可得到）
常见题型
余数问题：利用余数基本恒等式解题
同余问题：给出一个数除以几个不同的数的余数，反求这个数，称作同余问题
常用解题方法：代入法、试值法
注意：对于非特殊形式的同余问题，如果运用代入法和简单的试值法无法得到答案，那么这样的题目基本是不会涉及的，考生无需再做特别准备。
八、日历问题
平年与闰年
判断方法一共天数2月平年年份不能被4整除365天28天闰年年份可以被4整除366天29天
大月与小月
包括月份共有天数大月一、三、五、七、八、十、腊（十二）月31天小月二、四、六、九、十一月30天（2月除外）
九、平均数问题
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。公式为：
总数量和÷总份数=平均数；平均数×总份数=总数量和；总数量和÷平均数=总份数。
解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。
十、工程问题
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及工作量、工作效率、工作时间这三个量。
它们之间的基本数量关系：工作量=工作效率×时间；所需时间=工作量÷工作效率
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