2015湖南高考文科数学真题及答案

2015 湖南高考文科数学真题及答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1、已知 (1  i ) 2 =1+ii（i 为虚数单位），则复数 z= z A、1+ii B、1-i C、-1+ii D、-1-i 2、在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）如图 I 所示。 若 将 运 动 员 按 成 绩 由 好 到 差 编 为 1~35 号 ， 再 用 系 统 抽 样 方 法 从 中 抽 取 7 人 ， 则 其 中 成 绩 在 区 间 [139,151]上的运动员人数为 A、3 B、4 C、5 D、6 3、设 x R，则“x>1”是“  x2 A、充分不必要条件 C、充要条件 >1”的  B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 x  y 1 4、若变量 x、y 满足约束条件｛ y  x 1 ，则 z=2x-y 的最小值为 x 1 A、-1 B、0 C、1 D、2 5、执行如图 2 所示的程序框图，如果输入 n=3，中输入的 S= A、 6 7 B、 6、若双曲线 x 2 a2 A、  7 3 2 C、 8 9 D、 4 9 的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为 y2 1 2 b 7、若实数 a，b 满足 A、 3 7 B、 5 C、 4 D、 5 4 3 3 1 2   ab ，则 ab 的最小值为 a b B、2 C、2 D、4 2 8、设函数 f（x）=ln （1+ix）-ln（1-x），则 f（x）是 A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数 9、已知点 A,B,C 在圆 x 2  y 2 1 上运动，且 AB  BC，若点 P 的坐标为（2，0），则 I PA  PB  PC I 的最大值为 A、6 B、7 C、8 D、9 10、某工作的三视图如图 3 所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使 新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的 体积） A、 8 9 B、 8 27 C、 24( 2  1) 2  D、 8( 2  1) 2  二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11、已知集合 U= 1, 2,3, 4 ，A= 1,3 ,B= 1,3, 4 ,则 A ( ð B )=_____.  U       12、在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 C 的极坐标方程 为    sin  ，则曲线 C 的直角坐标方程为_____. 13.若直线 3x-4y+i5=0 与圆 x 2  y 2 r 2 r  0 相交于 A,B 两点，且 （O 为坐标原点），   AOB 120o 则 r=_____. 14、若函数 f（x）=I 2 x -2 I-b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_____. 15、已知 >0,在函数 y=2sin x 与 y=2cos x 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2    3 ，则  =_____. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是： 从装有 2 个红球 A1 , A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1 , a2 和 2 个白球 b1 , b2 的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖。 （I）用球的标号列出所有可能的摸出结果； （II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说 明理由。 17.（本小题满分 12 分）设 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a b tan A 。 （I）证明： sin B cos A ； 3 4 (II)若 sin C  sin A cos B  ，且 B 为锐角，求 A, B, C 。 18.（本小题满分 12 分）如图 4，直三棱柱 为 2 的正三角形， E, F 分别是 BC , CC1 ABC  A1 B1C1 的中点。 的 底面是边长 （I）证明：平面 （II）若直线 AEF  A1C 与平面 平面 B1 BCC1 A1 ABB1 ； 所成的角为 19. （本小题满分 13 分）设数列 {an } 45 ，求三棱锥 的前 项和为 n Sn F  AEC ，已知 的体积。 a1 1, a2 2 ，且 an 1 3S n  Sn 1  3, (n  N * ) ， （I）证明： （II）求 Sn an 2 3an ； 。 20.（本小题满分 13 分）已知抛物线 ( a  b  0) 于 C, D （I）求 的一个焦点， 两点，且  C2 AC 与 C1 BD 与 C2 C1 : x 2 4 y 的公共弦长为 的焦点 F 也是椭圆 2 6 y 2 x2 C2 : 2  2 1 a b ，过点 F 的直线 与 l C1 相交于 A, B 两点，与 C2 相交 同向。 的方程； （II）若 AC  BD ，求直线 的斜率。 l 21.（本小题满分 13 分）函数 f ( x) ae 2 cos x( x  [0, ) ，记 极值点。 （I）证明：数列 { f ( xn )} 是等比数列； （II）若对一切 n  N * , x  f ( x ) 恒成立，求 a 的取值范围。 n n xn 为 f ( x) 的从小到大的第 n(n  N * ) 个