2019年湖南高考理科数学真题及答案

2019 年湖南高考理科数学真题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 M {x  4  x  2}，N {x x 2  x  6  0 ，则 M  N = A． {x  4  x  3  B． {x  4  x   2  C． {x  2  x  2  D． {x 2  x  3  2．设复数 z 满足 z  i =1 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． ( x +1) 2  y 2 1 3．已知 B． ( x  1) 2  y 2 1 a log 2 0.2，b 20.2，c 0.20.3 A． a  b  c C． x 2  ( y  1) 2 1 D． x 2  ( y +1) 2 1 ，则 B． a  c  b C． c  a  b D． b  c  a 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 5 1 （ 2 2 ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与 咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1 2 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖 子下端的长度为 26cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm sinx  x 5．函数 f(x)= cosx  x 2 在 [ , ] 的图像大致为 A． B． C． D． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化 ．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻 “——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 A． 5 16 B． 7．已知非零向量 a，b 满足 A． π 6 11 32 | a |2 | b | B． π 3 C． ，且 (a  b)  21 32 1 1 2 2 11 16 b，则 a 与 b 的夹角为 C． 2π 3 1 8．如图是求 2  D． 的程序框图，图中空白框中应填入 D． 5π 6 A．A= 9．记 Sn 1 2 A 为等差数列 B．A= 2  {an } 1 A 的前 n 项和．已知 A． an 2n  5 C．A= S 4 0，a5 5 B． an 3n  10 10．已知椭圆 C 的焦点为 1 1  2A F1(  1, 0) ，F2(1, 0) D．A= 1  1 2A ，则 C． S n 2n 2  8n 1 2 D． S n  n 2  2n ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若 | AF2 |2 | F2 B | ， | AB || BF1 | ，则 C 的方程为 A． x 2 2  y 2 1 11．关于函数 B． x 2 3  y2 1 2 f ( x) sin | x |  | sin x | ①f(x)是偶函数 ③f(x)在 [ , ] C． x 2 4  y2 1 3 5  y2 1 4 有下述四个结论： ②f(x)在区间（ 有 4 个零点 D． x 2  2 ，  ）单调递增 ④f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 12．已知三棱锥 P−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形， E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为 A． 8 6 B． 4 6 C． 2 6 D． 6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 y 3( x 2  x)e x 在点 (0， 0) 处的切线方程为____________． 1 3 14．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1  ，a42 a6 ，则 S5=____________． 15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据 前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取 胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________． 16．已知双曲线 C： x 2 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近 y2  2 1( a  0, b  0) 2 a b    线分别交于 A，B 两点．若  ， ，则 C 的离心率为____________． F1 A  AB F1 B F2 B 0 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(12 分) △ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 (sin B  sin C ) 2 sin 2 A  sin B sin C ． （1）求 A； （2）若 2a  b 2c ，求 sinC． 18．（12 分） 如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A−MA1−N 的正弦值． 19．（12 分） 3 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P． 2 已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若   ，求|AB|． AP 3PB 20．（12 分） 已知函数 f ( x ) sin x  ln(1  x) （1） f ( x) 在区间 （2） f ( x) ， f ( x) 为 f ( x) 的导数．证明：  ( 1, ) 2 存在唯一极大值点； 有且仅有 2 个零点． 21．（12 分） 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得  1 分；若施以乙药的白鼠治 愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得  1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分． 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 X 的分布列； pi (i 0,1, ,8) （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， 为甲药比乙药更有效 ”的概率，则 a P( X  1) (i)证明： (ii)求 p4 ， b P ( X 0) ， p0 0 ， p8 1 c P ( X 1) ， ．假设 { pi 1  pi } (i 0,1, 2, , 7) 为等比数列； ，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性． 表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认 pi api  1  bpi  cpi 1 (i 1, 2, , 7) ，其中  0.5 ，  0.8 ．