2019年江苏高考数学真题及答案

2019 年江苏高考数学真题及答案 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无 效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 2 样本数据 x1 , x2 , …, xn 的方差 s  1 n 1 n 2  xi  x  ，其中 x   xi ．  n i 1 n i 1 柱体的体积 V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高． 1 3 锥体的体积 V  Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合 A { 1, 0,1, 6} ， B {x | x  0, x  R} ，则 A  B ▲. 2．已知复数 (a  2i)(1  i) 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是▲. 3．下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是▲. 4．函数 y  7  6 x  x 2 的定义域是▲. 5．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲. 6．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学 的概率是▲. 7．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2  经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 y2 1(b  0) 2 b ▲. 8．已知数列 {an }(n  N* ) 9．如图，长方体 是等差数列， ABCD  A1 B1C1 D1 Sn 是其前 n 项和.若 a2 a5  a8 0, S9 27 ，则 S8 的值是▲. 的体积是 120，E 为 10．在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y x  CC1 的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是▲. 4 ( x  0) 上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距离 x 的最小值是▲. 11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为 自然对数的底数），则点 A 的坐标是▲. 12 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， D 是 BC 的 中 点 ， E 在 边 AB 上 ， BE=2EA ， AD 与 CE 交 于 点 O . 若     AB 的值是▲. AB AC 6 AO EC ，则 AC 13．已知 14．设 tan  2  ，则  π  的值是▲. sin  2   π 3  tan     4  4  f ( x), g ( x) 数.当 是定义在 R 上的两个周期函数， x  (0, 2] 关于 x 的方程 时， f ( x )  1  ( x  1) 2 f ( x ) g ( x) ， f ( x) 的周期为 4， g ( x) 的周期为 2，且 f ( x) 是奇函  k ( x  2), 0  x 1  ，其中 k>0.若在区间(0，9]上， g ( x)  1   2 ,1  x 2 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是▲. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． （1）若 a=3c，b= （2）若 sin A a  2 ，cosB= 2 ，求 c 的值； 3 cos B ，求  的值． sin( B  ) 2b 2 16．（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E． 17．（本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C: x 2 a2  的焦点为 F1（–1、0）， y2 1(a  b  0) 2 b F2（1，0）．过 F2 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2: ( x  1) 2  y 2 4a 2 交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连结 BF2 交椭圆 C 于点 E，连结 DF1． 已知 DF1= 5 ． 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求点 E 的坐标． 18．（本小题满分 16 分） 如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB（AB 是圆 O 的直 径）．规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA．规划要求：线段 PB、QA 上 的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C、D 为垂足），测得 AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）． （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米）.求当 d 最小时，P、Q 两点间的 距离． 19．（本小题满分 16 分） 设函数 f ( x ) ( x  a )( x  b)( x  c), a, b, c  R 、 f ' ( x) 为 f（x）的导函数． （1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值； （2）若 a≠b，b=c，且 f（x）和 （3）若 a 0, 0  b„ 1, c 1 f ' ( x) 的零点均在集合 {  3,1,3} 中，求 f（x）的极小值； ，且 f（x）的极大值为 M，求证:M≤ 4 ． 27 20．（本小满分 16 分） 定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an} (n  N* ) 满足： a2 a4 a5 , a3  4a2  4a4 0 ，求证：数列{an}为“M－数 列”； （2）已知数列{bn} (n  N* ) 满足： b 1, 1  2  1 Sn bn 2 ，其中 Sn 为数列{bn}的前 n 项和． bn 1 ① 求数列{bn}的通项公式； ② 设 m 为正整数，若存在“M－数列”{cn} 成立，求 m 的最大值． (n  N* ) ，对任意正整数 k，当 k≤m 时，都有 ck„ bk„ ck 1