2017年全国III卷高考文科数学真题及答案

2017 年全国 III 卷高考文科数学真题及答案 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则 A  B 中元素的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 C．第三象限 D．第四象限 2．复平面内表示复数 z=i(–2+i)的点位于 A．第一象限 B．第二象限 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月 至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图. 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知 sin   cos   = 4 ，则 sin 2 3 A． 7  9 B．  2 9 C． 2 D． 7 9 9 3 x  2 y  6 0 5．设 x，y 满足约束条件  ，则 z=x-y 的取值范围是 x 0   y 0  A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3] 1   6．函数 f(x)= sin(x+ )+cos(x− )的最大值为 5 3 6 A． 6 5 7．函数 y=1+x+ B．1 C． 3 5 D． 1 5 sin x 的部分图像大致为 x2 A． B． C． D． 8．执行下面的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2 9．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的 体积为 A． π 10．在正方体 A． B． 3π C． π D． π 4 2 4 ABCD  A1 B1C1D1 B． A1 E⊥ DC1 11．已知椭圆 C： x 2 a2  6 3 12．已知函数 A．  1 2 C． A1 E⊥ BD D． A1 E⊥ BC1 A1 E⊥ AC y2 ，（a>b>0）的左、右顶点分别为 A1 ，A2 ，且以线段 1 2 b A1A2 为直径的圆与直线 A． 中，E 为棱 CD 的中点，则 B． bx  ay  2ab 0 3 3 C． f ( x) x 2  2 x  a(e x  1  e  x 1 ) 相切，则 C 的离心率为 D． 1 2 3 3 有唯一零点，则 a= B． 1 C． 1 3 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 D．1 13．已知向量 a ( 2,3), b (3, m) 14．双曲线 x 2 a 2  ，且 a⊥b，则 m= . 3 ，则 a= （a>0）的一条渐近线方程为 y2 y x 1 5 9 . 15．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。已知 C=60°，b= 6 ，c=3，则 A=_________。 16．设函数  x  1，x 0，则满足 1 的 x 的取值范围是__________。 f ( x)  x f ( x)  f ( x  )  1 2 2 ，x  0， 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 设数列 a 满足 a  3a    (2n  1)a 2n .  n 1 2 n （1）求 a 的通项公式；  n （2）求数列  an  的前 n 项和.    2n  1  18．（12 分） 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元， 未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需 求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如 果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面 的频数分布表： 最高气温 天数 [10，15 [15，20 [20，25 [25，30 [30，35 [35，40 ） ） ） ） ） ） 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的 进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率．学#科@网 19．（12 分） 如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD．若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE⊥EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比． 20．（12 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2+mx–2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为 (0,1).当 m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由； （2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 21．（12 分） 已知函数 f ( x) （1）讨论 =lnx+ax2+(2a+1)x． f ( x) 的单调性； （2）当 a﹤00 时，证明 f ( x)  3 2 ． 4a （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分。 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为  x 2+t , （t 为参数），直线 l2 的参数方   y kt ,