2017全国II卷高考理科数学真题及答案

2017 全国 II 卷高考理科数学真题及答案 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区 域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 ； 在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 3i （ ） 1 i A． 1  2i B． 1  2i 1. C． 2  i D． 2  i 2.设集合   1, 2, 4 ，   x x 2  4 x  m 0 ．若    1 ，则  （ ）  A． 1,  3   B． 1, 0    C． 1,3   D． 1,5   3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中 的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该 几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A． 90 B． 63 C． 42 D． 36 2 x  3 y  3 0 5.设 x ， y 满足约束条件  2 x  3 y  3 0 ，则 z 2 x  y 的最小值是（ ）  y  3 0  A．  15 B．  9 C． 1 D． 9 6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安 排方式共有（ ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的 成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的 a  1 ，则输出的 S （ ） A．2 B．3 9.若双曲线 C: C．4 D．5 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得 x2 y2 2  2 1 a  0 b  0  x  2   y 2 4 2 a b 的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ） A．2 B． 10.已知直三棱柱 直线 A． 1 与 C1 C  11C1 x  2 中， D． 2 3 2 3 C 120 ，  2 ， C CC1 1 ，则异面 所成角的余弦值为（ ） 3 2 11.若 C． 3 B． 15 C． 10 5 是函数 f ( x ) ( x 2  ax  1)e x  1` D． 5 的极值点，则 f ( x) 3 3 的极小值为（ ） A. B. 1 12.已知 ABC C.  2e  3 D.1 5e  3 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则    的最 PA ( PB  PC ) 小值是（ ） A.  2 B.  3 2 C.  4 3 D.  1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， ．  表示抽到的二等品件数，则 D  14.函数 f  x  sin 2 x  3 cos x  15.等差数列 若  为 ． n 1  k 1 S k  an  的前 n 项和为 Sn ， a3 3 ， S4 10 ，则  16.已知 是抛物线 F 3（    ）的最大值是 x   0,  4  2 C : y 2 8 x 的焦点， F 的中点，则 F   是 C 上一点， F ． 的延长线交 y 轴于点 ．  ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 17~21 题为必做 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 sin( A  C ) 8sin 2 B ． 2 (1)求 cos B (2)若 a  c 6 , ABC 面积为 2,求 b. 18.（12 分） 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下： （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率； （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有 关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） ） P（ k K2  0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 n(ad  bc) 2 (a  b)(c  d )(a  c )(b  d ) 19.（12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD， 1 AB BC  AD, BAD ABC 90o , E 是 PD 的中点. 2 （1）证明：直线 CE / / 平面 PAB （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 余弦值 45o ，求二面角 M-AB-D 的 20. （12 分） 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： x 2 2 P 满足   y 2 1 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点  . NP  2 NM (1) 求点 P 的轨迹方程； (2) 设点 Q 在直线 x=-3 上，且   .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左 OP PQ 1 焦点 F. 21.（12 分） 已知函数 f ( x) ax 3  ax  x ln x, 且 f ( x) 0 . （1）求 a； （2）证明： f ( x ) 存在唯一的极大值点 x0 ，且 e  2  f ( x0 )  2 3 . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的 第一题计分。 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）M 为曲线 C2  cos  4 C1 ． 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 | OM | | OP |16 ,求点 P 的轨迹 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 (2,  ) ，点 B 在曲线 C2 上，求 OAB 面积的最大值． 3 23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 a  0, b  0, a 3  b 3 2 （1） (a  b)(a 3  b3 ) 4 C1 ，证明： ；