2019年全国III卷高考理科数学真题及答案

2019 年全国 III 卷高考理科数学真题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 A． 2．若 A { 1, 0,1, 2}，B {x | x 2 1} ，则 A  B    1, 0,1 z (1  i) 2i B．  0,1 C．   1,1 D．  0,1, 2 ，则 z= A．  1  i B．  1+i C． 1  i D． 1+i 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名 著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过《西游记》或 《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红 楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 C．20 D．24 4．（1+2x2 ）（1+x）4 的展开式中 x3 的系数为 A．12 B．16 5．已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3= A．16 6．已知曲线 A． B．8 C．4 y ae x  x ln x 在点（1，ae）处的切线方程为 a e，b  1 B．a=e，b=1 2 x3 y x 7．函数 2  2 x 在   6, 6 的图像大致为 C． D．2 y=2x+b，则 a e  1，b 1 D． a e  1 ， b  1 A． B． C． D． 8．如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，M 是线段 ED 的中 点，则 A．BM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线 9．执行下边的程序框图，如果输入的  为 0.01，则输出 s 的值等于 A． 2 1 24 B． 2 1 25 C． 2 1 26 D． 2 1 27 x2 y 2  10．双曲线 C： 4 2 =1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若 PO = PF ， 则△PFO 的面积为 3 2 A． 4 11．设 3 2 B． 2 C． 2 2 D． 3 2 f  x  是定义域为 的偶函数，且在  0, +  单调递减，则 R 1 2 3   A． f （log3 4 ）＞ f （ 2 2 ）＞ f （ 2 3 ） 1 2 3   f B． （log3 4 ）＞ f （ 2 3 ）＞ f （ 2 2 ） 1 C． f （ 2 ）＞ f （ 2 ）＞ f （log3 4 ）  3 2  2 3 D． f （ 2  2 3  3 2 ）＞ f （ 2 1 ）＞ f （log3 4 ）  x  f x   12．设函数 =sin（ 5 ）(  ＞0)，已知 f  x  在  0, 2 有且仅有 5 个零点，下述四个结论： ① f  x  在（ 0, 2 ）有且仅有 个极大值点 3 ② f  x  在（ 0, 2 ）有且仅有 个极小值点 2  0, f x   在（ 10 ）单调递增 ③ 12 29 ， ④  的取值范围是[ 5 10 ) 其中所有正确结论的编号是 A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知 a，b 为单位向量，且 a·b=0，若 c 2a  5b ，则 cos a , c ___________. S10  14．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， a1≠ 0，a2 3a1 ，则 S5 ___________. x2 y 2 + 1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若 △ MF F 为等腰三角形， 15．设 F1，F2 为椭圆 C: 36 20 1 2 则 M 的坐标为___________. 16．学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 ABCD  A1 B1C1 D1 挖去四 棱锥 O—EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点， AB = BC = 6 cm , AA1 = 4 cm ，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型 所需原料的质量为___________g. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组， 每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相 同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比 .根据试验数 据分别得到如下直方图： 记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 18．（12 分） △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a sin AC b sin A ． 2 （1）求 B； （2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围． 19．（12 分）