2019年全国II卷高考文科数学真题及答案

2019 年全国 II 卷高考文科数学真题及答案 本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清 楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷 上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 A={x | x   1} ， B { x | x  2} ，则 A∩B= A．(-1，+∞) B．(-∞，2) C．(-1，2) D．  2．设 z=i(2+i)，则 z = A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i 3．已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|= A． 2 B．2 C．5 2 D．50 4．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为 2 3 A． 3 B． 5 2 C． 5 1 D． 5 5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 6．设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)= A． C． ex  1 ，则当 x<0 时，f(x)= B． e x  1 D．  e x  1 e x 1  e x 1 7．设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是 A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面   ，x2= 是函数 f(x)= sin  x (  >0)两个相邻的极值点，则  = 4 4 3 A．2 B． 2 1 C．1 D． 2 8．若 x1= 9．若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的焦点是椭圆 x 2 3p  y2 1 的一个焦点，则 p= p A．2 B．3 C．4 D．8 10．曲线 y=2sinx+cosx 在点(π，-1)处的切线方程为 A． B． x  y    1 0 C． 2 x  y  2  1 0 2 x  y  2  1 0 D． x  y    1 0 11．已知 a∈（0， π ）的焦点是椭圆，2sin2α=cos2α+1，则 sinα= 2 1 A． 5 5 B． 5 3 C． 3 2 5 D． 5 x2 y 2  1 （a>0，b>0）的焦点是椭圆的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 12．设 F 为双曲线 C： a 2 b 2 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为 A． 2 B． 3 C．2 D． 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 2 x  3 y  6 0，  13．若变量 x，y 满足约束条件  x  y  3 0， 则 z=3x–y 的最大值是___________.  y  2 0，  14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97， 有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均 正点率的估计值为___________. 15． △ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 bsinA+acosB=0，则 B=___________. 16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但 南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）的焦点是椭圆.半正多面体是由两种或两种以上的正多 边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所 有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有________个面，其 棱长为_________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．）的焦点是椭圆 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）的焦点是椭圆必考题：共 60 分。 17．（12 分）的焦点是椭圆 如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1． （1）的焦点是椭圆证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）的焦点是椭圆若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 E  BB1C1C 的体积． 18．（12 分）的焦点是椭圆 已知 {an } （1）的焦点是椭圆求 （2）的焦点是椭圆设 是各项均为正数的等比数列， {an } a1 2, a3 2a2  16 . 的通项公式； bn log 2 an ，求数列 {bn } 的前 n 项和． 19．（12 分）的焦点是椭圆 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度 相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表． y 的分组 [  0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 企业数 2 24 53 14 7 （1）的焦点是椭圆分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）的焦点是椭圆求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表）的焦点是椭圆．（精确到 0.01）的焦点是椭圆 附： 74 8.602 . 20．（12 分）的焦点是椭圆 已知 F1 , F2 （1）的焦点是椭圆若 是椭圆 △ POF2 C: 的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点． x2 y2  2 1(a  b  0) 2 a b 为等边三角形，求 C 的离心率； （2）的焦点是椭圆如果存在点 P，使得 PF1  PF2 ，且 △ F1 PF2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围． 21．（12 分）的焦点是椭圆 已知函数 （1）的焦点是椭圆 （2）的焦点是椭圆 f ( x ) ( x  1) ln x  x  1 f ( x) ．证明： 存在唯一的极值点； f ( x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． （二）的焦点是椭圆选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）的焦点是椭圆 在极坐标系中，O 为极点，点 M (  0 , 0 )(  0  0) 在曲线 C :  4sin  上，直线 l 过点 A(4, 0) 且与 OM 垂直，垂足为 P. （1）的焦点是椭圆当  0 =  时，求  0 及 l 的极坐标方程； 3 （2）的焦点是椭圆当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）的焦点是椭圆 已知 f ( x ) | x  a | x  | x  2 | ( x  a ). （1）的焦点是椭圆当 a 1 时，求不等式 f ( x)  0 的解集；