2018山西高考理科数学真题及答案

2018 山西高考理科数学真题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1 i z  2i ，则 | z | 1．设 1 i 1 B． 2 A． 0  D． 2 C． 1  2 2．已知集合 A  x x  x  2  0 ，则 ðR A  A．  x  1  x  2 C．  x | x   1  x | x  2 B．  x  1 x 2 D．  x | x  1  x | x 2 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比 例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记 S n 为等差数列  an  的前 n 项和.若 3S3 S2  S 4 ， a1 2 ，则 a5  B．  10 A．  12 5．设函数 C． 10 f ( x )  x 3  (a  1) x 2  ax .若 f ( x) D． 12 为奇函数，则曲线 y  f ( x) 在点 (0, 0) 处的 切线方程为 A． y  2 x B． y  x C． y 2 x D． y  x 6．在 △ ABC  BC AD E EB  AD 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 1 3 AB  AC A． 4 4 3 1 AB  AC B． 4 4 1 3 AB  AC C． 4 4 3 1 AB  AC D． 4 4 7．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对 应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 A． 2 17 B． 2 5 C．3 D．2 2 8．设抛物线 C：y =4x 的焦点为 F，过点（–2，0）且斜率为 3 的直线与 C 交于 M，N 2   FM FN = 两点，则 A．5 B．6 C．7 D．8 e x，x 0， f ( x )   ．若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的 9．已知函数 ln x，x  0，g ( x)  f ( x)  x  a 取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D ． [1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半 圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC． △ ABC 的三边所围 成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此 点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则 A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 11．已知双曲线 C： x2  y 2 1 ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两 3 条渐近线的交点分别为 M、N.若 △ OMN 为直角三角形，则|MN|= A． 3 2 B．3 C． 2 3 D．4 12．已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 α 所成的角都相等，则 α 截此正方体 所得截面面积的最大值为 A． 3 3 4 B． 2 3 3 C． 3 2 4 D． 3 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。  x  2 y  2 0 13．若 x ， y 满足约束条件  ，则 的最大值为_____________． z 3x  2 y  x  y  1 0  y 0  14．记 Sn 为数列  an  的前 项和.若 ，则 _____________． n Sn 2an  1 S6  15．从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选 法共有_____________种．（用数字填写答案） 16．已知函数 f x 2sin x  sin 2 x ，则 f x 的最小值是_____________．     三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17．（12 分） 在平面四边形 ABCD 中， ADC 90 ， A 45 ， AB 2 ， BD 5 . （1）求 cos ADB ； （2）若 DC 2 2 ，求 BC . 18．（12 分） 如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ， E , F 分 别 为 AD, BC 的 中 点 ， 以 DF 为 折 痕 把 △ DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF  BF . （1）证明：平面 PEF  平面 ABFD ； （2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值. 19．（12 分） 设椭圆 标为 (2, 0) C: 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐 x2 A, B l C F F M  y 2 1 2 . （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明： OMA OMB . 20．（12 分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检 验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检 验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概 率都为 p (0  p  1) ，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记 20 件产品中恰 有 2 件不合格品的概率为 f ( p) ,求 f ( p) 的最大值点 p0 ． （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 p0 作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对 每件不合格品支付 25 元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ， 求 EX ; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品 作检验？ 21．（12 分） 1 x 已知函数 f ( x)   x  a ln x ． （1）讨论 f ( x) 的单调性；