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2015上海高考理科数学真题及答案

2020-06-30 06:37
2015 上海高考理科数学真题及答案 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 48 分.)考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对 4 分,否则一律得零分. 1.(4 分)设全集 U=R.若集合 Α={1,2,3,4},Β={x|2≤x≤3},则 Α∩∁UΒ= . 2.(4 分)若复数 z 满足 3z+ =1+i,其中 i 是虚数单位,则 z= 3.(4 分)若线性方程组的增广矩阵为 解为 4.(4 分)若正三棱柱的所有棱长均为 a,且其体积为 16 . ,则 c1﹣cc2= ,则 a= . . 5.(4 分)抛物线 y2=2px(p>0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,则 p= . 6.(4 分)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π,则其母线与轴的夹角的大小为 . 7.(4 分)方程 log2(9x﹣c1﹣c5)=log2(3x﹣c1﹣c2)+2 的解为 . 8.(4 分)在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血,要求男、女 教师都有,则不同的选取方式的种数为 (结果用数值表示). 9.已知点 P 和 Q 的横坐标相同,P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍,P 和 Q 的轨迹分别为 双曲线 C1 和 C2.若 C1 的渐近线方程为 y=± x,则 C2 的渐近线方程为 . 10.(4 分)设 f﹣c1 (x)为 f(x)=2x﹣c2+ ,x∈[0,2]的反函数,则 y=f(x)+f﹣c (x)的最大值为 1 11.(4 分)在(1+x+ . ) 10 的展开式中,x2 项的系数为 (结果用数值表 示). 12.(4 分)赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有 1,2,3,4,5 的 卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元);随后放回该卡片,再 随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金(单位:元). 若 随 机 变 量 ξ1 和 ξ2 分 别 表 示 赌 客 在 一 局 赌 博 中 的 赌 金 和 奖 金 , 则 Eξξ1﹣cEξξ2= (元). 1 13.(4 分)已知函数 f(x)=sinx.若存在 x1 ,x2 ,…,xm 满足 0≤x1 <x2 <…< xm≤6π , 且 |f ( x1 ) ﹣c f ( x2 ) |+|f ( x2 ) ﹣c f ( x3 ) |+…+|f ( xm﹣c1 ) ﹣c f ( xm ) | =12(m≥2,m∈N*),则 m 的最小值为 . 14.在锐角三角形 A BC 中,tanA= ,D 为边 BC 上的点,△A BD 与△ACD 的面积分 别为 2 和 4.过 D 作 D Eξ⊥A B 于 Eξ,DF⊥AC 于 F,则 • = . 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 15 分.)每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.(5 分)设 z1 ,z2∈C,则“z1 、z2 中至少有一个数是虚数”是“ z1﹣cz2 是虚数”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16.(5 分)已知点 A 的坐标为(4 OB,则点 B 的纵坐标为( A. ,1),将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 ) B. C. D. 17.记方程①:x2+a1x+1=0,方程②:x2+a2x+2=0,方程③:x2+a3x+4=0,其中 a1,a2,a3 是正实数.当 a1,a2,a3 成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实 根的是( ) A.方程①有实根,且②有实根 B.方程①有实根,且②无实根 C.方程①无实根,且②有实根 D.方程①无实根,且②无实根 18.(5 分)设 Pn(xn,yn)是直线 2x﹣cy= 交点,则极限 A.﹣c1 2 =( B.﹣c (n∈N*)与圆 x2+y2=2 在第一象限的 ) C.1 D.2 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 19.(12 分)如图,在长方体 ABCD﹣cA1B1C1D1 中,AA1=1,AB=AD=2,Eξ、F 分别 是 AB、BC 的中点,证明 A1、C1、F、Eξ 四点共面,并求直线 CD1 与平面 A1C1FEξ 所成 的角的大小. 20.(14 分)如图,A,B,C 三地有直道相通,AB=5 千米,AC=3 千米,BC=4 千米. 现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地,经过 t 小时,他们之间的距离为 f(t) (单位:千米).甲的路线是 AB,速度为 5 千米/小时,乙的路线是 ACB,速度为 8 千 米/小时.乙到达 B 地后原地等待.设 t=t1 时乙到达 C 地. (1)求 t1 与 f(t1)的值; (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米.当 t1≤t≤1 时,求 f(t)的表达式,并 判断 f(t)在[t1,1]上的最大值是否超过 3?说明理由. 3 21.(14 分)已知椭圆 x2+2y2=1,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 A、B 和 C、D,记得到的平行四边形 ACBD 的面积为 S. (1)设 A(x1,y1),C(x2,y2),用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明 S=2|x1y2﹣cx2y1|; (2)设 l1 与 l2 的斜率之积为﹣c ,求面积 S 的值. 22.(16 分)已知数列{an}与{bn}满足 an+1﹣can=2(bn+1﹣cbn),n∈N*. (1)若 bn=3n+5,且 a1=1,求数列{an}的通项公式; (2)设{an}的第 n0 项是最大项,即 a ≥an(n∈N*),求证:数列{bn}的第 n0 项是 最大项; (3)设 a1=λ<0,bn=λn(n∈N*),求 λ 的取值范围,使得{an}有最大值 M 与最小值 m,且 ∈(﹣c2,2). 4 23.(18 分)对于定义域为 R 的函数 g(x),若存在正常数 T,使得 cosg(x)是以 T 为周期的函数,则称 g(x)为余弦周期函数,且称 T 为其余弦周期.已知 f(x)是以 T 为余弦周期的余弦周期函数,其值域为 R.设 f(x)单调递增, f(0)=0,f(T)=4π. (1)验证 g(x)=x+sin 是以 6π 为周期的余弦周期函数; (2)设 a<b,证明对任意 c∈[f(a),f(b)],存在 x0∈[a,b],使得 f(x0)=c; (3)证明:“u0 为方程 cosf(x)=1 在[0,T]上得解,”的充要条件是“ u0+T 为方程 cosf ( x ) =1 在 区 间 [T , 2T] 上 的 解 ” , 并 证 明 对 任 意 x∈[0 , T] , 都 有 f(x+T)=f(x)+f(T). 5
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