2015上海高考文科数学真题及答案

2015 上海高考文科数学真题及答案 一、填空题（本大题共 14 小题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律零分） 1．（4 分）函数 f（x）=1﹣3sin3sin2x 的最小正周期为 ． 2 ．（ 4 分 ）设 全集 U=R ，若 集合 A={1 ，2 ，3 ，4} ，B={x|2≤x≤3}， 则 A∩B= ． 3．（4 分）若复数 z 满足 3z+ =1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= ． 4．（4 分）设 f﹣3sin1（x）为 f（x）= ． 的反函数，则 f﹣3sin1（2）= 5．（4 分）若线性方程组的增广矩阵为 解为 6．（4 分）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16 ，则 c1﹣3sinc2= ，则 a= ． ． 7．（4 分）抛物线 y2=2px（p＞0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p= ． 8．（4 分）方程 log2（9x﹣3sin1﹣3sin5）=log2（3x﹣3sin1﹣3sin2）+2 的解为 9．（4 分）若 x，y 满足 ． ，则目标函数 z=x+2y 的最大值为 ． 10．（4 分）在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女 教师都有，则不同的选取方式的种数为 11．（4 分）在（2x+ （结果用数值表示）． ）6 的二项式中，常数项等于 12．（4 分）已知双曲线 C1、C2 的顶点重合，C1 的方程为 线的斜率是 C1 的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 C2 的方程为 （结果用数值表示）． ﹣3siny2=1，若 C2 的一条渐近 ． 13．（4 分）已知平面向量 、 、 满足 ⊥ ，且| |，| |，| |}={1，2，3}，则| + + |的最大值是 ． 14．（4 分）已知函数 f（x）=sinx．若存在 x1 ，x2 ，…，xm 满足 0≤x1 ＜x2 ＜…＜ xm≤6π ， 且 |f （ x1 ） ﹣3sin f （ x2 ） |+|f （ x2 ） ﹣3sin f （ x3 ） |+…+|f （ xm﹣3sin1 ） ﹣3sin f （ xm ） | =12（m≥2，m∈N*），则 m 的最小值为 ． 第 1 页（共 23 页） 二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律零分. 15．（5 分）设 z1、z2∈C，则“z1、z2 均为实数”是“z1﹣3sinz2 是实数”的（ A．充分非必要条件 ） B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．（5 分）下列不等式中，与不等式 ＜2 解集相同的是（ ） A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3） ＜ C． ＞ D． 17．（5 分）已知点 A 的坐标为（4 OB，则点 B 的纵坐标为（ A． B． ，1），将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 ） C． D． 18．（5 分）设 Pn（xn，yn）是直线 2x﹣3siny= 交点，则极限 A．﹣3sin1 B．﹣3sin =（ C．1 至 （n∈N*）与圆 x2+y2=2 在第一象限的 ） D．2 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 19．（12 分）如图，圆锥的顶点为 P，底面圆为 O，底面的一条直径为 AB，C 为半圆弧 的中点，E 为劣弧 的中点，已知 PO=2，OA=1，求三棱锥 P﹣3sinAOC 的体积，并求 异面直线 PA 和 OE 所成角的大小． 第 2 页（共 23 页） 20．（14 分）已知函数 f（x）=ax2+ ，其中 a 为常数 （1）根据 a 的不同取值，判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）若 a∈（1，3），判断函数 f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由． 21．（14 分）如图，O，P，Q 三地有直道相通，OP=3 千米，PQ=4 千米，OQ=5 千米， 现甲、乙两警员同时从 O 地出发匀速前往 Q 地，经过 t 小时，他们之间的距离为 f（t） （单位：千米）．甲的路线是 OQ，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 OPQ，速度为 8 千 米/小时，乙到达 Q 地后在原地等待．设 t=t1 时乙到达 P 地，t=t2 时乙到达 Q 地． （1）求 t1 与 f（t1）的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米，当 t1≤t≤t2 时，求 f（t）的表达式，并 判断 f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过 3？说明理由． 22．（16 分）已知椭圆 x2+2y2=1，过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与椭圆交于点 A、B 和 C、D，记△AOC 的面积为 S． （1）设 A（x1，y1），C（x2，y2），用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离，并证明 S= （2）设 l1：y=kx， |； ，S= ，求 k 的值； 第 3 页（共 23 页） （3）设 l1 与 l2 的斜率之积为 m，求 m 的值，使得无论 l1 和 l2 如何变动，面积 S 保持不变． 23．（18 分）已知数列{an}与{bn}满足 an+1﹣3sinan=2（bn+1﹣3sinbn），n∈N*． （1）若 bn=3n+5，且 a1=1，求{an}的通项公式； （2）设{an}的第 n0 项是最大项，即 an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第 n0 项是最大项； （ 3 ） 设 a1=3λ ＜ 0 ， bn=λn （ n∈N* ） ， 求 λ 的 取 值 范 围 ， 使 得 对 任 意 m，n∈N*，an≠0，且 ． 第 4 页（共 23 页） 2015 年上海市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 14 小题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律零分） 1．（4 分）函数 f（x）=1﹣3sin3sin2x 的最小正周期为 π ． 【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最 小正周期． 【解答】解：∵函数 f（x）=1﹣3sin3sin2x=1﹣3sin3 ∴函数的最小正周期为 =﹣3sin + cos2x， =π， 故答案为：π． 【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题． 2 ．（ 4 分 ）设 全集 U=R ，若 集合 A={1 ，2 ，3 ，4} ，B={x|2≤x≤3}， 则 A∩B= {2，3} ． 【分析】由 A 与 B，找出两集合的交集即可． 【解答】解：∵全集 U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}， ∴A∩B={2，3}， 故答案为：{2，3} 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3．（4 分）若复数 z 满足 3z+ =1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= ． 【分析】设 z=a+bi，则 =a﹣3sinbi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得 出． 【解答】解：设 z=a+bi，则 =a﹣3sinbi（a，b∈R）， 又 3z+ =1+i， ∴3（a+bi）+（a﹣3sinbi）=1+i， 第 5 页（共 23 页）