2015天津高考理科数学试题及答案

2015 天津高考理科数学试题及答案 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： ·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立， P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)． 柱体的体积公式 V 柱体=Sh 椎体的体积公式 V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示椎体的底面积， h 表示柱体的高． h 表示棱柱的高． 第Ⅰ卷注意事项：本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知全集 U  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 ，集合 A  2,3,5, 6 ，集合 B  1,3, 4, 6, 7 ，则集合       A∩C u B （A） 2,5 （B） 3, 6 （C） 2,5, 6 （D） 2,3,5, 6,8          x  2 0 （2）设变量 x, y 满足约束条件   x  y  3 0 ，则目标函数 z x  6 y 的最大值为 2 x  y  3 0  （A）3（B）4（C）18（D）40 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为 （A）  10 （B）6（C）14（D）18 （4）设 xR ，则“ x  2  1 ”是“ 2 ”的 x x 20 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）如图，在圆 O 中， M,N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD, CE 分 别经过点 （A） M,N .若 CM 2, MD 4, CN 3 ，则线段 NE 的长为 8 10 5 （B）3（C） （D） 3 3 2 （6）已知双曲线 x 2 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2 2, 3  2 1 a  0, b  0  2 a b y 2 4 7 x （ A ） x2   的准线上，则双曲线的方程为 （ B ） x2 y 2 （ C ） x2 y2 （ D ） y2 1  1  1 21 28 28 21 3 4  x2 y2  1 4 3 （7）已知定义在 记 a log 0.5 R 上的函数 f x 2 x  m  1 （ m 为实数）为偶函数，   3, b  f  log 2 5  , c  f  2m  ，则 a, b, c 的大小关系为 （A） a  b  c （B） a  c  b （C） c  a  b （D） c  b  a 2  x , x 2, （ 8 ） 已 知 函 数 f  x   2  x  2  , x  2, 函 数 g  x  b  f  2  x  ， 其 中 b  R ， 若 函 数 y  f  x   g  x  恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是 （A）  7 7  （C）  7  （D）  7   （B）   ,     ,   0,   , 2 4 4    4 4  第 II 卷 注意事项： 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共 12 小题，共计 110 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9） 是虚数单位，若复数 1  2i a  i 是纯虚数，则实数 a 的值为 i    （10）一个几何体的三视图如图所示（单位： m ）， 则该几何体的体积为 （11）曲线 的面积为 m3 . 与直线 y  x 所围成的封闭图形 y x 2 . . 6 1  的展开式中， 2 的系数为 x x  4x   （12）在  （ 13 ） 在 ABC b  c 2, cos A  （14）在等腰梯形 中，内角 A, B, C 1 , 则 a 的值为 4 ABCD 中,已知 . 所对的边分别为 a, b, c ，已知 ABC 的面积为 3 15 ， . AB / / DC , AB 2, BC 1, ABC 60 ,动点     1  BC 和 DC 上, 且 BE  BC , DF  DC , 且 AE  AF且 且 且 且 且 9 E 和 F 分别在线段 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分 13 分）已知函数 (I)求 (II)求 f ( x)   f  x  sin 2 x  sin 2  x   ， x  R 6  最小正周期； f ( x) 在区间[-π/3,π/4]π/3,π/4]上的最大值和最小值. 16. （本小题满分 13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有 来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这 8 名运动 员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的 概率； (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 17. （本小题满分 13 分） 如图，在四棱柱 ABCD -π/3,π/4] A1 B1C1D1 中，侧棱 , , A1 A  且 且 ABCD AB  AC AB =1 , AC =AA1 =2, AD =CD = 5 ,且点 M 和 N 分别为 B1C且 D1D 的中点. (I)求证： MN∥平面 ABCD (II)求二面角 D1 -AC -π/3,π/4] B1 的正弦值； (III)设 E 为棱 A1 B1 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 1 ，求线段 A1E 的长 3 18. （本小题满分 13 分）已知数列 a2 +a3 , a3 +a4 , a4 +a5 (I)求 q 的值和 ，且 {an } 满足 an 2 qan (q 为实数，且q 1， ) n  N* , a1 1, a2 2 成等差数列. {an } 的通项公式； (II)设 b  log 2 a2 n , n  N * ，求数列 的前 n 项和. 且 b且 n n a2 n  1 19. （本小题满分 14 分）已知椭圆 x 2 a2 圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 + y2 的左焦点为 ,离心率为 3 ，点 M 在椭 F（-c, 0） =1(a >b >0) 2 b 3 b 4 截得的线段的长为 c， 4 3. x +y = |FM|= 4 3 2 2 (I)求直线 FM 的斜率； (II)求椭圆的方程； (III)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 20. （本小题满分 14 分）已知函数 (I)讨论 f ( x) (II)设曲线 ，求直线 OP（O 为原点）的斜率的取值范围. f ( x ) n x  x n , x  R ，其中 n  N * , n 2 . 的单调性； y = f ( x) 实数 ，都有 x 2 与 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 x f ( x ) g ( x) y =g ( x) ,求证：对于任意的正 ； a +2 1 -π/3,π/4] n (III)若关于 x 的方程 f ( x )=a(a且 且 且 ) 有两个正实根 x1且 x2 ，求证： | x2 -x1 |<