2019年天津卷理科数学高考真题及答案

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共卷（选择题）和第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共Ⅱ卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共卷 1 至 2 页，第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共Ⅱ卷（非选择题）两部分，共卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时 ， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： ·如果事件 ·如果事件 A A 、 、 B B 互斥，那么 P( A  B) P( A)  P( B) 相互独立，那么 P ( AB) P ( A) P ( B ) ． ． ·圆柱的体积公式 V Sh ，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高． 1 3 ·棱锥的体积公式 V  Sh ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 A． 2   A { 1,1, 2,3,5}, B {2,3, 4}, C { x  R |1  x  3} B． 2,3   C．  1, 2,3   ，则 ( A C )  B  D． 1, 2,3, 4    x  y  2 0,  x  y  2 0, 2．设变量 x, y 满足约束条件  则目标函数 z  4 x  y 的最大值为  x  1,   y  1, A．2 B．3 C．5 D．6 3．设 xR ，则“ x2  5x  0 ”是“ | x  1| 1 ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为 A．5 B．8 5．已知抛物线 别交于点 A． 6．已知 A y 2 4 x 和点 B a log 5 2 A． a  c  b 的焦点为 ，且 ， F l （ O l ， c 0.50.2 B． a  b  c a2  的两条渐近线分 y2 1 ( a  0, b  0) 2 b 为原点），则双曲线的离心率为 C． 3 b log 0.5 0.2 D．29 ，准线为 ，若 与双曲线 x 2 | AB |4 | OF | B． 2 C．24 ，则 D． 2 a , b, c 5 的大小关系为 C． b  c  a D． c  a  b 7．已知函数 f ( x)  A sin( x   )( A  0,   0,|  | ) 是奇函数，将 y  f x 的图象上所有点的横坐标   伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g x ．若 g x 的最小正周期为 ，且     2π    3  g    2 ，则 f     4  8  A． B． 2 C．  2 2 8．已知 a  R ，设函数 f ( x )  x  2ax  2a,   x  a ln x, D． 2 2 x 1, 若关于 的不等式 x f ( x) 0 在 R 上恒成立，则 a x  1. 的取值范围为 A． 0,1   B． 0, 2   C． 0, e   D． 1, e   2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共Ⅱ卷（非选择题）两部分，共卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 12 小题，共 110 分。 二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9． 是虚数单位，则 5  i 的值为_____________． i 1 i 8 1  的展开式中的常数项为_____________．  2x  3  8x   10．  11．已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5 ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四 条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________． 12．设 aR ，直线 ax  y  2 0 和圆  x 2  2 cos  , （ 为参数）相切，则 a 的值为_____________．    y 1  2sin  13．设 y  0, x  2 y 5 ，则 x  0, 14．在四边形 且 ABCD AE BE 中， ，则  AD ∥ BC , ( x  1)(2 y  1) 的最小值为_____________． xy AB 2 3, AD 5, A 30 ，点 E 在线段 CB 的延长线上，  _____________． BD AE  三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 在 △ ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ．已知 b  c 2a ， 3c sin B 4a sin C ． （Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共）求 cos B 的值； （Ⅱ卷（非选择题）两部分，共）求   sin  2 B   的值． 6  16．（本小题满分 13 分） 设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 2 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不 3 影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期 望； （Ⅱ卷（非选择题）两部分，共）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校 的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率． 17．（本小题满分 13 分） 如图， AE  平面 ABCD ， CF ∥ AE , AD ∥ BC ， AD  AB, （Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共）求证： BF ∥ 平面 ADE ； （Ⅱ卷（非选择题）两部分，共）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 E  BD  F 的余弦值为 1 ，求线段 CF 的长． 3 AB  AD 1, AE BC 2 ． 18．（本小题满分 13 分） 设椭圆 x 2 a2  y2 的左焦点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 5 ． F B 1(a  b  0) 2 b 5 （Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共）求椭圆的方程； （Ⅱ卷（非选择题）两部分，共）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的 负半轴上．若 | ON || OF | （ O 为原点），且 OP  MN ，求直线 PB 的斜率． 19．（本小题满分 14 分） 设 a 是等差数列， b 是等比数列．已知 a 4, b 6 ， b2 2a2  2, b3 2a3  4 ．  n  n 1 1 （Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共）求 a 和 b 的通项公式；  n  n 1, 2k  n  2k 1 , 其中 k  N* ． k bk , n 2 , （Ⅱ卷（非选择题）两部分，共）设数列  c 满足 c 1, c   n 1 n （i）求数列 a n c n  1 的通项公式； 2 2   （ii）求 2n   a c  nN  ． * i i i 1 20．（本小题满分 14 分） 设函数 f ( x ) e x cos x, g ( x ) （Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共）求 f x 的单调区间；   为 f x 的导函数．  