高一数学集合知识点总结

高一数学集合知识点总结 一．知识归纳： 1．集合的有关概念。 1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元 素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平 面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性（a?A 和 a?A，二者必居其一）、互异性（若 a?A，b?A， 则 a≠b）和无序性（{a,b}a,b}与{a,b}b,a}表示同一个集合）。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素 就必须符号条件 2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3）集合的分类：有限集，无限集，空集。 4）常用数集：N，Z，Q，R，N* 2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1）子集：若对 x∈A 都有 x∈B，则 A B（或 A B）； 2）真子集：A B 且存在 x0∈B 但 x0 A；记为 A B（或 ，且 ） 3）交集：A∩B={a,b}x| x∈A 且 x∈B} 4）并集：A∪B={a,b}x| x∈A 或 x∈B} 5）补集：CUA={a,b}x| x A 但 x∈U} 注意：①? A，若 A≠?，则? A ； ②若 ， ，则 ； ③若 且 ，则 A=B（等集） 3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的 符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。 4．有关子集的几个等价关系 ① A∩B=A A B；② A∪B=B A B；③ A B C uA C uB； ④ A∩CuB = 空集 CuA B；⑤ CuA∪B=I A B。 5．交、并集运算的性质 ① A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；② A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A； ③ Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB； 6．有限子集的个数：设集合 A 的元素个数是 n，则 A 有 2n 个子集，2n－1 个非空子 集，2n－2 个非空真子集。 二．例题讲解： 【例 1】已知集合 M={a,b}x|x=m+ ,m∈Z},N={a,b}x|x= ,n∈Z},P={a,b}x|x= ,p∈Z}，则 M,N,P 满足 关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 解答一：对于集合 M：{a,b}x|x= ,m∈Z}；对于集合 N：{a,b}x|x= ,n∈Z} 对于集合 P：{a,b}x|x= ,p∈Z}，由于 3(n-1)+1 和 3p+1 都表示被 3 除余 1 的数，而 6m+1 表示被 6 除余 1 的数，所以 M N=P，故选 B。 分析二：简单列举集合中的元素。 解答二：M={a,b}…， ，…}，N={a,b}…， , , ，…}，P={a,b}…， , ，…}，这时不要急于判断三个 集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。 = ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N， = P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故 P=N，所以选 B。 点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思 路一，但思路二易人手。 变式：设集合 ， ，则（ B ） A．M=N B．M N C．N M D． 解： 当 时，2k+1 是奇数，k+2 是整数，选 B 【例 2】定义集合 A*B={a,b}x|x∈A 且 x B}，若 A={a,b}1,3,5,7},B={a,b}2,3,5}，则 A*B 的子集个数 为 A）1 B）2 C）3 D）4 分析：确定集合 A*B 子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合 A={a,b}a1，a2，…，an}有子集 2n 个来求解。 解答：∵A*B={a,b}x|x∈A 且 x B}， ∴A*B={a,b}1,7}，有两个元素，故 A*B 的子集共有 22 个。 选 D。 变式 1：已知非空集合 M {a,b}1,2,3,4,5}，且若 a∈M，则 6?a∈M，那么集合 M 的个数为 A）5 个 B）6 个 C）7 个 D）8 个 变式 2：已知{a,b}a,b} A {a,b}a,b,c,d,e},求集合 A. 解：由已知，集合中必须含有元素 a,b. 集合 A 可能是{a,b}a,b},{a,b}a,b,c},{a,b}a,b,d},{a,b}a,b,e},{a,b}a,b,c,d},{a,b}a,b,c,e},{a,b}a,b,d,e}. 评析 本题集合 A 的个数实为集合{a,b}c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 . 【例 3】已知集合 A={a,b}x|x2+px+q=0},B={a,b}x|x2?4x+r=0},且 A∩B={a,b}1},A∪B={a,b}?2,1,3},求 实数 p,q,r 的值。 解答：∵A∩B={a,b}1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3. ∴B={a,b}x|x2?4x+r=0}={a,b}1,3}, ∵A∪B={a,b}?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A ∵A∩B={a,b}1} ∴1∈A ∴方程 x2+px+q=0 的两根为-2 和 1， ∴∴ 变式：已知集合 A={a,b}x|x2+bx+c=0},B={a,b}x|x2+mx+6=0},且 A∩B={a,b}2},A∪B=B，求实数 b,c,m 的值. 解：∵A∩B={a,b}2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5 ∴B={a,b}x|x2-5x+6=0}={a,b}2,3} ∵A∪B=B ∴ 又 ∵A∩B={a,b}2} ∴A={a,b}2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4 ∴b=-4,c=4,m=-5 【例 4】已知集合 A={a,b}x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合 B 满足：A∪B={a,b}x|x>-2}，且 A∩B={a,b}x| 1 分析：先化简集合 A，然后由 A∪B 和 A∩B 分别确定数轴上哪些元素属于 B，哪些元 素不属于 B。 解答：A={a,b}x|-21}。由 A∩B={a,b}x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。 综合以上各式有 B={a,b}x|-1≤x≤5} 变式 1：若 A={a,b}x|x3+2x2-8x>0}，B={a,b}x|x2+ax+b≤0},已知 A∪B={a,b}x|x>-4}，A∩B=Φ,求 a,b。（答案：a=-2，b=0） 点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解 之。 变式 2：设 M={a,b}x|x2-2x-3=0},N={a,b}x|ax-1=0}，若 M∩N=N，求所有满足条件的 a 的集 合。 解答：M={a,b}-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M ①当 时，ax-1=0 无解，∴a=0 ② 综①②得：所求集合为{a,b}-1，0， } 【例 5】已知集合 ，函数 y=log2(ax2-2x+2)的定义域为 Q，若 P∩Q≠Φ，求实数 a 的 取值范围。 分析：先将原问题转化为不等式 ax2-2x+2>0 在 有解，再利用参数分离求解。 解答：（1）若 ， 在 内有有解 令 当 时， 所以 a>-4,所以 a 的取值范围是 变式：若关于 x 的方程 有实根,求实数 a 的取值范围。 解答： 点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论， 怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。