数学指导：判断充分与必要条件的常用方法

数学指导：判断充分与必要条件的常用方法 充分条件与必要条件是高中阶段非常重要的数学概念，它涉及知识范围广，综合性强， 能与高中任何知识相结合，有一定的深度与难度，此类题目能有力地考查学生的逻辑思维 能力.那么我们如何把握和解决此类问题呢？ 一、 定义法 对于“?圯”，可以简单的记为箭头所指为必要，箭尾所指为充分.在解答此类题目时，利 用定义直接推导，一定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义. 例 1 已知 p：-2＜m＜0，0＜n＜1；q：关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正 根，试分析 p 是 q 的什么条件？ 分析 条件 p 确定了 m，n 的范围，结论 q 则明确了方程的根的特点，且 m，n 作为系 数，因此理应联想到根与系数的关系，然后再进一步化简. 解 设 x1，x2 是方程 x2+mx+n=0 的两个小于 1 的正根，即 0＜x1＜1，0＜x2＜1，则 0＜x1+x2＜2，0＜x1?x2＜1，依韦达定理，则有 0＜-m＜2，0＜n＜1，从而 q?圯 p. 而对于满足条件 p 的 m=-1，n=，方程 x2-x+=0 并无实根，所以 pq. 综上，可知 p 是 q 的必要但不充分条件. 点评 解决条件判断问题时，务必分清谁是条件，谁是结论，然后既要尝试由条件能否 推出结论，也要尝试由结论能否推出条件，这样才能明确做出充分性与必要性的判断. 二、 集合法 如果将命题 p，q 分别看作两个集合 A 与 B，用集合意识解释条件，则有：①若 A?哿 B，则 x∈A 是 x∈B 的充分条件，x∈B 是 x∈A 的必要条件；②若 A?芴 B，则 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件，x∈B 是 x∈A 的必要不充分条件；③若 A=B，则 x∈A 和 x∈B 互为充 要条件；④若 A?芫 B 且 A?芸 B，则 x∈A 和 x∈B 互为既不充分也不必要条件. 例 2 设 x，y∈R，则 x2+y2＜2 是|x|+|y|≤x|x|+|y|≤+|x|+|y|≤y|x|+|y|≤≤的（）条件，是|x|+|y|≤x|x|+|y|≤+|x|+|y|≤y|x|+|y|≤＜2 的（）条件. A. 充要条件 B. 既非充分也非必要条件 C. 必要不充分条件?摇 D. 充分不必要条件 解 如右图所示，平面区域 P={（x，y）|x|+|y|≤x2+y2＜2}表示圆内部分（不含边界）；平面 区域 Q={（x，y）|x|+|y|≤|x|+|y|≤x|x|+|y|≤+|x|+|y|≤y|x|+|y|≤≤}表示小正方形内部分（含边界）；平面区域 M={（x，y）|x|+|y|≤|x|+|y|≤ x|x|+|y|≤+|x|+|y|≤y|x|+|y|≤＜2}表示大正方形内部分（不含边界）. 由于（，0）?埸 P，但（，0）∈Q，则 P?芸 Q.又 P?芫 Q，于是 x2+y2＜2 是|x|+|y|≤x|x|+|y|≤+|x|+|y|≤y|x|+|y|≤≤ 的既非充分也非必要条件，故选 B. 同理 P?芴 M，于是 x2+y2＜2 是|x|+|y|≤x|x|+|y|≤+|x|+|y|≤y|x|+|y|≤＜2 的充分不必要条件，故选 D. 点评 由数想形，以形辅数，这种解法正是数形结合思想在解题中的有力体现.数形结 合不仅能够拓宽我们的解题思路，而且也能够提高我们的解题能力. 三、 逆否法 利用互为逆否命题的等价关系，应用“正难则反”的数学思想，将判断“p?圯 q”转化为 判断“非 q?圯非 p”的真假. 例 3 （1）判断 p：x≠3 且 y≠2 是 q：x+y≠5 的什么条件； （2） 判断 p：x≠3 或 y≠2 是 q：x+y≠5 的什么条件. 解 （1）原命题等价于判断非 q：x+y=5 是非 p：x=3 或 y=2 的什么条件. 显然非 p 非 q，非 q 非 p，故 p 是 q 的既不充分也不必要条件. （2） 原命题等价于判断非 q：x+y=5 是非 p：x=3 且 y=2 的什么条件. 因为非 p?圯非 q，但非 q 非 p，故 p 是 q 的必要不充分条件. 点评 当命题含有否定词时，可考虑通过逆否命题等价转化判断. 四、 筛选法 用特殊值、举反例进行验证，做出判断，从而简化解题过程.这种方法尤其适合于解选 择题. 例 4 方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是（） A. 0＜a≤1 B. a＜1 C. a≤1 D. 0＜a≤1 解 利用特殊值验证：当 a=0 时，x=-，排除 A，D；当 a=1 时，x=-1，排除 B.因此选 C. 点评 作为选择题，利用筛选法避免了复杂的逻辑推理过程，使解题方法更加优化，节 省了时间，提高了解题的速度，因此同学们应该注意解题方法的选择使用. 五、 传递法 充分条件与必要条件具有传递性，即由 P1?圯 P2，P2?圯 P3，…，Pn-1?圯 Pn，可得 P1?圯 Pn .同样，充要条件也有传递性.对于比较复杂的具有一定连锁关系的条件，两个条 件间关系的判断也可用传递法来加以处理. 例 5 已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解 由题意可得 p?圯 r，r?圯 s，s?圯 q，那么可得 p?圯 r?圯 s?圯 q，即 p 是 q 的充分不 必要条件，故选 A. 点评 对于两个以上的较复杂的连锁式条件，利用传递性结合符号“?圯”与“”，画出它们 之间的关系结构图进行判断，可以直观快捷地处理问题，使问题得以简单化. 1. 求三个方程 x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0 至少有一个方程有 实根的充要条件. 1. 三个方程均无实根的充要条件是 Δ1=16a2-4a2-4（-4a+3）＜0，Δ2=（a-1）2-4a2＜0，Δ3=4a2-4（-2a）＜0，解得-＜a＜1，故至少有一个方程有实根的充要条件是 a|x|+|y|≤a≥-1 或 a≤-.